Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của

Câu hỏi số 267759:

Vận dụng

Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.

a.Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.

b.Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.

b.PN cắt cung nhỏ \(\overset\frown{BG}\) của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc \(\widehat {OFP}\) .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267759

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều, \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;BC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM \bot AB\\ON \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {ONB} = {90^0}\) (đường trung tuyến đồng thời là đường cao)

Xét tứ giác \(BMON\) ta có: \(\widehat {OMB} + \widehat {ONB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}.\)

\( \Rightarrow BMON\) là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng \({180^0}\)).

b) Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.

Ta có \(O\) là trọng tâm tâm tam giác \(ABC\) (gt)

\( \Rightarrow ON = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}R.\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Lại có:\(OG = ON + NG\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow R = \frac{R}{2} + NG \Leftrightarrow NG = \frac{R}{2}.\\ \Rightarrow NO = NG = \frac{R}{2}.\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) PN cắt cung nhỏ \(\overset\frown{BG}\) của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc \(\widehat {OFP}\) .

Gọi \(E = OC \cap PN\) ta có \(OC \bot AB\) (do tam giác ABC đều) ;

\(NP//AB\) (do NP là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow OC \bot NP\) tại E \( \Rightarrow \Delta OEF\) vuông tại E.

Xét tam giác vuông ONC có : \(O{N^2} = OE.OC \Rightarrow OE = \frac{{O{N^2}}}{{OC}} = \frac{{{R^2}}}{{4R}} = \frac{R}{4}\)

Xét tam giác vuông \(OEF\) có \(\sin \widehat {OFE} = \sin \widehat {OFP} = \frac{{OE}}{{ON}} = \frac{{\frac{R}{4}}}{R} = \frac{1}{4} \Rightarrow \widehat {OFP} = \arcsin \frac{1}{4} \approx {14^0}28'\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link