Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
a.Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.
b.Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.
b.PN cắt cung nhỏ \(\overset\frown{BG}\) của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc \(\widehat {OFP}\) .
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều, \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;BC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM \bot AB\\ON \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {ONB} = {90^0}\) (đường trung tuyến đồng thời là đường cao)
Xét tứ giác \(BMON\) ta có: \(\widehat {OMB} + \widehat {ONB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}.\)
\( \Rightarrow BMON\) là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng \({180^0}\)).
b) Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.
Ta có \(O\) là trọng tâm tâm tam giác \(ABC\) (gt)
\( \Rightarrow ON = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}R.\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)
Lại có:\(OG = ON + NG\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow R = \frac{R}{2} + NG \Leftrightarrow NG = \frac{R}{2}.\\ \Rightarrow NO = NG = \frac{R}{2}.\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
c) PN cắt cung nhỏ \(\overset\frown{BG}\) của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc \(\widehat {OFP}\) .
Gọi \(E = OC \cap PN\) ta có \(OC \bot AB\) (do tam giác ABC đều) ;
\(NP//AB\) (do NP là đường trung bình của tam giác ABC.
\( \Rightarrow OC \bot NP\) tại E \( \Rightarrow \Delta OEF\) vuông tại E.
Xét tam giác vuông ONC có : \(O{N^2} = OE.OC \Rightarrow OE = \frac{{O{N^2}}}{{OC}} = \frac{{{R^2}}}{{4R}} = \frac{R}{4}\)
Xét tam giác vuông \(OEF\) có \(\sin \widehat {OFE} = \sin \widehat {OFP} = \frac{{OE}}{{ON}} = \frac{{\frac{R}{4}}}{R} = \frac{1}{4} \Rightarrow \widehat {OFP} = \arcsin \frac{1}{4} \approx {14^0}28'\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
