Giả sử số tự nhiên \(n\ge 2\) thỏa mãn

Câu hỏi số 268168:

Vận dụng

Giả sử số tự nhiên \(n\ge 2\) thỏa mãn \(C_{2n}^{0}+\frac{C_{2n}^{2}}{3}+\frac{C_{2n}^{4}}{5}+\frac{C_{2n}^{6}}{7}+...+\frac{C_{2n}^{2n-2}}{2n-1}+\frac{C_{2n}^{2n}}{2n+1}=\frac{8192}{15}\) Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. \(6<n<9\)

B. \(9<n<12\)

C. \(n<6\)

D. Không tồn tại n

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268168

Giải chi tiết

Chọn khai triển: \({{\left( 1+x \right)}^{2n}}=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{1}.x+C_{2n}^{2}.{{x}^{2}}+C_{2n}^{3}.{{x}^{3}}+...+C_{2n}^{2n}.{{x}^{2n}}\)

Lấy tích phân hai vế ta được:

\(\begin{align} & \int{{{\left( 1+x \right)}^{2n}}}dx=\int{\left( C_{2n}^{0}+C_{2n}^{1}.x+C_{2n}^{2}.{{x}^{2}}+C_{2n}^{3}.{{x}^{3}}+...+C_{2n}^{2n}.{{x}^{2n}} \right)}dx \\ & \Leftrightarrow \frac{{{\left( 1+x \right)}^{2n+1}}}{2n+1}=C_{2n}^{0}x+C_{2n}^{1}.\frac{{{x}^{2}}}{2}+C_{2n}^{2}.\frac{{{x}^{3}}}{3}+C_{2n}^{3}.\frac{{{x}^{4}}}{4}+...+C_{2n}^{2n}.\frac{{{x}^{2n+1}}}{2n+1}\,\,\ \ \ \ \ \left( * \right) \\\end{align}\)

Với \(x=1\) ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{{{2}^{2n+1}}}{2n+1}=C_{2n}^{0}+\frac{C_{2n}^{1}}{2}+\frac{C_{2n}^{2}}{3}+\frac{C_{2n}^{3}}{4}+\frac{C_{2n}^{4}}{5}+.......+\frac{C_{2n}^{2n}}{2n+1}.\ \ \ \ \left( 1 \right)\)

Với \(x=-1\) ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow 0=-C_{2n}^{0}+\frac{C_{2n}^{1}}{2}-\frac{C_{2n}^{2}}{3}+\frac{C_{2n}^{3}}{4}-\frac{C_{2n}^{4}}{5}+.......-\frac{C_{2n}^{2n}}{2n+1}.\ \ \ \left( 2 \right)\)

Lấy \(\left( 1 \right)-\left( 2 \right)\) ta được: \(\frac{{{2}^{2n+1}}}{2n+1}=2\left( C_{2n}^{0}+\frac{C_{2n}^{2}}{3}+\frac{C_{2n}^{4}}{5}+.....+\frac{C_{2n}^{2n}}{2n+1} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow C_{2n}^0 + \frac{{C_{2n}^2}}{3} + \frac{{C_{2n}^4}}{5} + ..... + \frac{{C_{2n}^{2n}}}{{2n + 1}} = \frac{{{2^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}.\frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow C_{2n}^0 + \frac{{C_{2n}^2}}{3} + \frac{{C_{2n}^4}}{5} + ..... + \frac{{C_{2n}^{2n}}}{{2n + 1}} = \frac{{{2^{2n}}}}{{2n + 1}}\\
\Leftrightarrow \frac{{8192}}{{15}} = \frac{{{2^{2n}}}}{{2n + 1}}\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2n + 1 = 15\\
{2^{2n}} = 8192
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
n = 7\\
n = \frac{1}{2}{\log _2}8192 = 6,5
\end{array} \right. \Rightarrow n \in \emptyset .
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.