Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{5}{{2018}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}}\). Tìm điều

Câu hỏi số 268790:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{5}{{2018}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}}\). Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

A. \(3{e^2} + 1 \le m \le 3{e^3} + 1\)

B. \(m \ge 3{e^4} + 1\)

C. \(m < 3{e^2} + 1\)

D. \(3{e^3} + 1 \le m \le 3{e^4} + 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268790

Phương pháp giải

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\).

Ta có \(y' = \left( {3{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x}} \right){\left( {\frac{5}{{2018}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}}\ln \left( {\frac{5}{{2018}}} \right) = 0\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).

Ta có \({\left( {\frac{5}{{2018}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}} > 0;\,\,\ln \left( {\frac{5}{{2018}}} \right) < 0 \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow 3{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {e^x}\left( {3{e^{2x}} - m + 1} \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 3{e^{2x}} - m + 1 \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 3{e^{2x}} + 1 \le m\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( {3{e^{2x}} + 1} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{e^{2x}} + 1\) có \(f'\left( x \right) = 6{e^x} > 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3{e^4} + 1\)

Vậy \(m \ge 3{e^4} + 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.