Có bao nhiêu số phức z thoả mãn \(\left| z \right|\left( {z - 6 - i} \right) + 2i = \left( {7 - i}

Câu hỏi số 270527:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số phức z thoả mãn \(\left| z \right|\left( {z - 6 - i} \right) + 2i = \left( {7 - i} \right)z\)?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270527

Phương pháp giải

Cô lập z, môđun hai vế.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left| z \right|\left( {z - 6 - i} \right) + 2i = \left( {7 - i} \right)z\\ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 7 + i} \right)z = \left( {6 + i} \right)\left| z \right| - 2i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{6\left| z \right| + \left( {\left| z \right| - 2} \right)i}}{{\left( {\left| z \right| - 7} \right) + i}}\end{array}\)

Lấy môđun hai vế ta có:

\(\begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = \dfrac{{36{{\left| z \right|}^2} + {{\left( {\left| z \right| - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\left| z \right| - 7} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{37{{\left| z \right|}^2} - 4\left| z \right| + 4}}{{{{\left| z \right|}^2} - 14\left| z \right| + 50}}\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 14{\left| z \right|^3} + 50{\left| z \right|^2} = 37{\left| z \right|^2} - 4\left| z \right| + 4\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 14{\left| z \right|^3} + 13{\left| z \right|^2} + 4\left| z \right| - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2}\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {\left| z \right| - 13} \right) + 4\left( {\left| z \right| - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {{{\left| z \right|}^3} - 13{{\left| z \right|}^2} + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| z \right| = 1\\\left| z \right| \approx 12,98\\\left| z \right| \approx 0,58\end{array} \right.\end{array}\)

Khi \(\left| z \right| = 1\), thay vào phương trình ban đầu ta có

\(\begin{array}{l}z - 6 - i + 2i = \left( {7 - i} \right)z\\ \Leftrightarrow z\left( {1 - 7 + i} \right) = 6 - i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{6 - i}}{{ - 6 + i}} = - 1\end{array}\)

Tương tự với hai giá trị còn lại của \(\left| z \right|\) ta tìm được hai giá trị số phức z tương ứng.

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.