Cho a > 0, b > 0 thoả mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab +

Câu hỏi số 270528:

Vận dụng cao

Cho a > 0, b > 0 thoả mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\). Giá trị của a + 2b bằng

A. 9

B. 6

C. \(\dfrac{{27}}{4}\)

D. \(\dfrac{{20}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270528

Phương pháp giải

Chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) > {\log _{4a + 5b + 1}}1 = 0\\{\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) > {\log _{8ab + 1}}1 = 0\end{array} \right.\), sử dụng BĐT Cô-si và sử dụng công thức \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Giải chi tiết

Ta có \(4{\rm{a}} + 5b + 1 > 1;\,\,16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1 > 1;\,\,8{\rm{a}}b + 1 > 1\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) > {\log _{4a + 5b + 1}}1 = 0\\{\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) > {\log _{8ab + 1}}1 = 0\end{array} \right.\)

Áp dụng BĐT Cô – si ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\\ \ge 2\sqrt {{{\log }_{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right).{{\log }_{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)} = 2\sqrt {{{\log }_{8ab + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right)} \end{array}\)

Lại có \(16{a^2} + {b^2} + 1 \ge 2\sqrt {16{a^2}{b^2}} + 1 = 8ab + 1 \Rightarrow {\log _{8ab + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) \ge {\log _{8ab + 1}}\left( {8ab + 1} \right) = 1\)

\( \Rightarrow {\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) \ge 1\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{{\rm{a}}^2} + {b^2} + 1} \right) = {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right)\\4a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = {\log _{2{b^2} + 1}}\left( {6b + 1} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = \frac{1}{{{{\log }_{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right)}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\{\log _{6b + 1}}\left( {2{b^2} + 1} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\6b + 1 = 2{b^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + 2b = \frac{3}{4} + 2.3 = \frac{{27}}{4}\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.