a) Giải phương trình: \(2\sqrt x - \sqrt {3x + 1} = x - 1.\) b) Cho hai số thực dương \(a,\;b\) thỏa

Câu hỏi số 270699:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình: \(2\sqrt x - \sqrt {3x + 1} = x - 1.\)

b) Cho hai số thực dương \(a,\;b\) thỏa mãn \(a + b + 3ab = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {1 - {a^2}} + \sqrt {1 - {b^2}} + \frac{{3ab}}{{a + b}}.\)

A. a) x = 1; x =0

b) \({P_{\max }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{2}.\)

B. a) x = 1;

b) \({P_{\max }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} + \frac{1}{2}.\)

C. a) x = 1;

b) \({P_{\max }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{2}.\)

D. a) x = 1; x = 0

b) \({P_{\max }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} + \frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270699

Giải chi tiết

a) Giải phương trình \(2\sqrt x - \sqrt {3x + 1} = x - 1.\)

Cách 1:

Điều kiện \(x \ge 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt x \\b = \sqrt {3x + 1} \end{array} \right.a,b \ge 0\)

Khi đó ta có: \({a^2} = 4x;{b^2} = 3x + 1 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = x - 1\) . Phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}a - b = {a^2} - {b^2} \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a + b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt x = \sqrt {3x + 1} \\2\sqrt x + \sqrt {3x + 1} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 3x + 1\\4x + 3x + 1 + 4\sqrt {x\left( {3x + 1} \right)} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {tm} \right)\\7x + 4\sqrt {x\left( {3x + 1} \right)} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {tm} \right)\\4\sqrt {x\left( {3x + 1} \right)} = - 7x\,\,\left( {do\,\,x \ge 0 \Rightarrow x = 0tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {tm} \right)\\x = 0\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0; x = 1.

Cách 2:

a) Giải phương trình: \(2\sqrt x - \sqrt {3x + 1} = x - 1.\)

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;2\sqrt x - \sqrt {3x + 1} = x - 1\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x - x + 1 = \sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow 4\sqrt x - 2x + 2 = 2\sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow 3x + 1 + 1 - 2x + 4\sqrt x + 2 = 3x + 1 + 2\sqrt {3x + 1} + 1\\ \Leftrightarrow x + 4\sqrt x + 4 = 3x + 1 + 2\sqrt {3x + 1} + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 2 = \sqrt {3x + 1} + 1\\\sqrt x + 2 = - \left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)\;\;\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = \sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow x + 2\sqrt x + 1 = 3x + 1\\ \Leftrightarrow 2x - 2\sqrt x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt x = 0\\\sqrt x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( {tm} \right)\\x = 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\;1} \right\}.\)

b) Cho hai số thực dương \(a,\;b\) thỏa mãn \(a + b + 3ab = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \sqrt {1 - {a^2}} + \sqrt {1 - {b^2}} + \frac{{3ab}}{{a + b}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 - {a^2} + \frac{8}{9} \ge 2\sqrt {\frac{8}{9}\left( {1 - {a^2}} \right)} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\sqrt {1 - {a^2}} \\1 - {b^2} + \frac{8}{9} \ge 2\sqrt {\frac{8}{9}\left( {1 - {b^2}} \right)} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\sqrt {1 - {b^2}} \end{array} \right.\)

Khi đó \(\frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\left( {\sqrt {1 - {a^2}} + \sqrt {1 - {b^2}} } \right) \le \frac{{17}}{9} - {a^2} + \frac{{17}}{9} - {b^2} = \frac{{34}}{9} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right).\)

Ta có \(\frac{{1 - a - b}}{3} = ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} + 4\left( {a + b} \right) - 4 \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge \frac{2}{3}.\)

Và \({a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} \ge \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{2}{9}\) suy ra \(\frac{{34}}{9} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le \frac{{32}}{9} \Rightarrow \sqrt {1 - {a^2}} + \sqrt {1 - {b^2}} \le \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\)

Lại có \(\frac{{3ab}}{{a + b}} = \frac{{1 - a - b}}{{a + b}} = \frac{1}{{a + b}} - 1\) mà \(a + b \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{{a + b}} \le \frac{3}{2}\) suy ra \(\frac{{3ab}}{{a + b}} \le \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}.\)

Do đó \(P = \sqrt {1 - {a^2}} + \sqrt {1 - {b^2}} + \frac{{3ab}}{{a + b}} \le \frac{{4\sqrt 2 }}{3} + \frac{1}{2}.\) Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = \frac{1}{3}.\) Vậy \({P_{\max }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} + \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link