1) Giải phương trình: \({x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} .\) 2) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn \(x +

Câu hỏi số 270704:

Vận dụng cao

1) Giải phương trình: \({x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} .\)

2) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn \(x + y = 4\). Chứng minh \({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128\)

A. 1) Phương trình có 2 nghiệm duy nhất lớn hơn hoặc bằng 0

B. 1) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều lớn hơn hoặc bằng 0

C. 1) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm âm và 2 nghiệm không âm

D. 1) Phương trình có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm dương

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270704

Phương pháp giải

+) Đặt điều kiện sau đó giải phương trình bằng phương pháp bình phương hai vế.

+) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

1) Giải phương trình: \({x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} .\)

Điều kiện: \({x^3} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} = 4\left( {{x^3} + 1} \right)\;\;\;\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} + 4 = 4{x^3} + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = 2\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\;2} \right\}.\)

2) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn \(x + y = 4\). Chứng minh \({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128\)

Theo bài ra ta có :

\({\left( {x + y} \right)^2} = {4^2} = 16 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 16 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 16 - 2xy\)

Từ đó suy ra

\({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128 \Leftrightarrow {x^2}{y^2}\left( {16 - 2xy} \right) \le 128\)

Đặt \(t = xy\) ta có \(0 \le xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4 \Rightarrow 0 \le t \le 4\).

\( \Rightarrow {t^2}\left( {16 - 2t} \right) \le 128\) với \(t \le 4\)\( \Leftrightarrow 8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\) với \(0 \le t \le 4\)

Ta cần chứng minh \(8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\) với \(0 \le t \le 4\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,8{t^2} - {t^3} - 64\\ = \left( {t - 4} \right)\left( { - {t^2} + 4t + 16} \right)\\ = \left( {t - 4} \right)\left[ { - t\left( {t - 4} \right) + 16} \right]\end{array}\)

Với \(0 \le t \le 4 \Rightarrow t - 4 \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow t\left( {t - 4} \right) \le 0 \Leftrightarrow - t\left( {t - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - t\left( {t - 4} \right) + 16 \ge 16 > 0\\ \Rightarrow \left( {t - 4} \right)\left[ { - t\left( {t - 4} \right) + 16} \right] \le 0\end{array}\)

Do đó bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra .\( \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow x = y = 2\)..

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link