Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh rằng \(\angle ACD = \angle ANM\)
2) Chứng minh rằng \(AC + AD + AM + AN > 8R\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
1) Chứng minh tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp.
2) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác và áp dụng BĐT Cauchy.
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh rằng \(\angle ACD = \angle ANM\)
Ta có \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC \bot AC \Rightarrow BC \bot AM\).
\( \Rightarrow \angle CMN + \angle MBC = {90^0}\) (tam giác BCM vuông tại C)
Mà \(\angle ABC + \angle MBC = \angle ABM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle ABC = \angle CMN\). (cùng phụ với \(\angle CBM\))
Mà \(\angle ADC = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
\( \Rightarrow \angle ADC = \angle CMN\).
Lại có \(\angle ADC + \angle CDN = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle CMN + \angle CDN = {180^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\( \Rightarrow \angle ACD = \angle ANM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
2) Chứng minh rằng \(AC + AD + AM + AN > 8R\)
Ta có \(\angle ACB = \angle ADB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM ta có: \(A{B^2} = AC.AM \Rightarrow AM = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = \frac{{4{R^2}}}{{AC}}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: \(A{B^2} = AD.AN \Rightarrow AN = \frac{{A{B^2}}}{{AD}} = \frac{{4{R^2}}}{{AD}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AC + AD + AM + AN = AC + AD + \frac{{4{R^2}}}{{AC}} + \frac{{4{R^2}}}{{AD}}\\ = \left( {AC + \frac{{4{R^2}}}{{AC}}} \right) + \left( {AD + \frac{{4{R^2}}}{{AD}}} \right)\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {AC.\frac{{4{R^2}}}{{AC}}} + 2\sqrt {AD.\frac{{4{R^2}}}{{AD}}} = 2.2R + 2.2R = 8R\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \frac{{4{R^2}}}{{AC}}\\AD = \frac{{4{R^2}}}{{AD}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = 2R\\AD = 2R\end{array} \right.\) , khi đó \(C \equiv D \equiv M \equiv N \equiv B\)
Đáp án cần chọn là: A
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
