a) Cho các biểu thức \(P\left( x \right)=\frac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}\) và \(Q\left( x \right)=x+\sqrt{x}+3\)

Câu hỏi số 272381:

Vận dụng

a) Cho các biểu thức \(P\left( x \right)=\frac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}\) và \(Q\left( x \right)=x+\sqrt{x}+3\) . Tìm các số nguyên \({{x}_{0}}\) sao cho \(P\left( {{x}_{0}} \right)\) và \(Q\left( {{x}_{0}} \right)\) là các số nguyên, đồng thời là ước của .

b) Cho \(t=\frac{x}{{{x}^{2}}-x+1}\) Tính giá trị của biểu thức \(A=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\) theo \(t\)

A. a) \(x=4\)

b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\) khi \(x\ne 0\)

\(A=0\) khi \(x=0\)

B. a) \(x=5\)

b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\) khi \(x\ne 0\)

\(A=0\) khi \(x=0\)

C. a) \(x=4\)

b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+t}\) khi \(x\ne 0\)

\(A=0\) khi \(x=0\)

D. a) \(x=8\)

b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+3t}\) khi \(x\ne 0\)

\(A=t\) khi \(x=0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272381

Phương pháp giải

a) \(P(x_0)\) là ước của khi \(\frac{Q\left( {{x}_{0}} \right)}{P\left( {{x}_{0}} \right)}\) là số nguyên

b) Nhận thấy cả \(A\) và \(t\) đều có thể đưa về một ẩn chung là \(x+\frac{1}{x}\)

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x\ge 0,\ x\ne 16\) Ta có:

+)\(P\left( x \right)=\frac{5\left( x-16 \right)-12\sqrt{x}+48}{x-16}=5-\frac{12\left( \sqrt{x}-4 \right)}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)}=5-\frac{12}{\sqrt{x}+4}\)

+)\(P\left( {{x}_{0}} \right)\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{12}{\sqrt{{{x}_{0}}}+4}\) nguyên

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x + 4 = 4\\
\sqrt x + 4 = 6\\
\sqrt x + 4 = 12
\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x + 4 > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x = 0\\
\sqrt x = 2\\
\sqrt x = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\;\;\left( {tm} \right)\\
x = 4\;\;\;\left( {tm} \right)\\
x = 64\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\)

Nhận thấy với 3 giá trị trên của \(x\) thì \(Q\left( x \right)\) đều nguyên : \(\left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow Q\left( x \right)=3\ \ \left( tm \right) \\ & x=4\Rightarrow Q\left( x \right)=9\ \ \ \left( tm \right) \\ & x=64\Rightarrow Q\left( x \right)=75\ \ \left( tm \right) \\\end{align} \right.\)

+) Xét \(\frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=\frac{x+\sqrt{x}+3}{5-\frac{12}{\sqrt{x}+4}}\) ta có :

\(\) \(\begin{align} & +)\ x=0\Rightarrow \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=\frac{3}{2}\ \ \left( ktm \right). \\ & +)\ x=4\Rightarrow \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=3\ \ \left( tm \right). \\ & +)\ x=64\Rightarrow \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=\frac{75}{4}\ \ \left( ktm \right). \\\end{align}\)

Vậy \(x=4\) là giá trị cần tìm.

+) Với \(x=0\) ta có: \(t=0\Rightarrow A=0\)

+) Với \(x\ne 0\) ta có: \(t=\frac{x}{{{x}^{2}}-x+1}=\frac{1}{x-\frac{1}{x}-1}\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{1}{t}+1\)

Mặt khác: \(A=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=\frac{1}{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}=\frac{1}{{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}-1}\) \(\) \(\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{t}+1 \right)}^{2}}-1}=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\)

Vậy \(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\) khi \(x\ne 0\) và \(A=0\) khi \(x=0\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link