a) Cho các biểu thức \(P\left( x \right)=\frac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}\) và \(Q\left( x \right)=x+\sqrt{x}+3\)

Câu hỏi số 272381:

Vận dụng

a) Cho các biểu thức \(P\left( x \right)=\frac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}\) và \(Q\left( x \right)=x+\sqrt{x}+3\) . Tìm các số nguyên \({{x}_{0}}\) sao cho \(P\left( {{x}_{0}} \right)\) và \(Q\left( {{x}_{0}} \right)\) là các số nguyên, đồng thời là ước của .

b) Cho \(t=\frac{x}{{{x}^{2}}-x+1}\) Tính giá trị của biểu thức \(A=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\) theo \(t\)

A. a) \(x=4\)

b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\) khi \(x\ne 0\)

\(A=0\) khi \(x=0\)

B. a) \(x=5\)

b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\) khi \(x\ne 0\)

\(A=0\) khi \(x=0\)

C. a) \(x=4\)

b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+t}\) khi \(x\ne 0\)

\(A=0\) khi \(x=0\)

D. a) \(x=8\)

b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+3t}\) khi \(x\ne 0\)

\(A=t\) khi \(x=0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272381

Phương pháp giải

a) \(P(x_0)\) là ước của khi \(\frac{Q\left( {{x}_{0}} \right)}{P\left( {{x}_{0}} \right)}\) là số nguyên

b) Nhận thấy cả \(A\) và \(t\) đều có thể đưa về một ẩn chung là \(x+\frac{1}{x}\)

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x\ge 0,\ x\ne 16\) Ta có:

+)\(P\left( x \right)=\frac{5\left( x-16 \right)-12\sqrt{x}+48}{x-16}=5-\frac{12\left( \sqrt{x}-4 \right)}{\left( \sqrt{x}-4 \right)\left( \sqrt{x}+4 \right)}=5-\frac{12}{\sqrt{x}+4}\)

+)\(P\left( {{x}_{0}} \right)\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{12}{\sqrt{{{x}_{0}}}+4}\) nguyên

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x + 4 = 4\\
\sqrt x + 4 = 6\\
\sqrt x + 4 = 12
\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x + 4 > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x = 0\\
\sqrt x = 2\\
\sqrt x = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\;\;\left( {tm} \right)\\
x = 4\;\;\;\left( {tm} \right)\\
x = 64\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\)

Nhận thấy với 3 giá trị trên của \(x\) thì \(Q\left( x \right)\) đều nguyên : \(\left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow Q\left( x \right)=3\ \ \left( tm \right) \\ & x=4\Rightarrow Q\left( x \right)=9\ \ \ \left( tm \right) \\ & x=64\Rightarrow Q\left( x \right)=75\ \ \left( tm \right) \\\end{align} \right.\)

+) Xét \(\frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=\frac{x+\sqrt{x}+3}{5-\frac{12}{\sqrt{x}+4}}\) ta có :

\(\) \(\begin{align} & +)\ x=0\Rightarrow \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=\frac{3}{2}\ \ \left( ktm \right). \\ & +)\ x=4\Rightarrow \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=3\ \ \left( tm \right). \\ & +)\ x=64\Rightarrow \frac{Q\left( x \right)}{P\left( x \right)}=\frac{75}{4}\ \ \left( ktm \right). \\\end{align}\)

Vậy \(x=4\) là giá trị cần tìm.

+) Với \(x=0\) ta có: \(t=0\Rightarrow A=0\)

+) Với \(x\ne 0\) ta có: \(t=\frac{x}{{{x}^{2}}-x+1}=\frac{1}{x-\frac{1}{x}-1}\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{1}{t}+1\)

Mặt khác: \(A=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=\frac{1}{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}=\frac{1}{{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}-1}\) \(\) \(\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{{{\left( \frac{1}{t}+1 \right)}^{2}}-1}=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\)

Vậy \(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\) khi \(x\ne 0\) và \(A=0\) khi \(x=0\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link