a) Cho parabol \(\left( P \right):y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 272382:

Vận dụng

a) Cho parabol \(\left( P \right):y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y=\frac{11}{8}x-\frac{3}{2}\) Gọi \(A,B\) là các giao điểm của \(\left( P \right)\)

và \(\left( d \right)\) Tìm tọa độ điểm \(C\) trên trục tung sao cho \(CA+CB\) có giá trị nhỏ nhất.

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & 2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y-4=0 \\\end{align} \right.\)

A. a) \(C\left( 0;\frac{1}{2} \right)\)

b) \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( 1;1 \right);\ \left( -\frac{4}{5};-\frac{13}{5} \right) \right\}\)

B. a) \(C\left( 0;\frac{3}{2} \right)\)

b) \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( -1;2 \right);\ \left( -\frac{1}{5};-\frac{13}{5} \right) \right\}\)

C. a) \(C\left( 0;\frac{3}{2} \right)\)

b) \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( 1;1 \right);\ \left( -\frac{4}{5};-\frac{13}{5} \right) \right\}\)

D. a) \(C\left( 0;\frac{5}{2} \right)\)

b) \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( 1;1 \right);\ \left( -\frac{1}{5};-\frac{3}{5} \right) \right\}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272382

Phương pháp giải

a) Sử dụng bất đẳng thức Mincopski (bdt vector ) : Cho các số thực \(a,b,x,y\) ta có :

\(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+x \right)}^{2}}+{{\left( b+y \right)}^{2}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

b) Phân tích phương trình (1) thành nhân tử , sau đó thế xuống phương trình (2)

Giải chi tiết

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình :

\(\frac{1}{4}{{x}^{2}}=\frac{11}{8}x-\frac{3}{2}\Leftrightarrow \left( 2x-3 \right)\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=4 \\ & x=\frac{3}{2} \\\end{align} \right.\)

Suy ra \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại \(A\left( 4;4 \right),B\left( \frac{3}{2};\frac{9}{16} \right)\)

Giả sử \(C\left( 0;a \right)\) là điểm cần tìm

\(\Rightarrow CA+CB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(4-a)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( a-\frac{9}{16} \right)}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( 4+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\left( 4-a+a-\frac{9}{16} \right)}=\frac{11\sqrt{89}}{16}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{4}{\frac{3}{2}}=\frac{4-a}{a-\frac{9}{16}}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}\)

Vậy \(C\left( 0;\frac{3}{2} \right)\) là điểm cần tìm.

b) Xét phương trình (1) ta có

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;2{x^2} + xy - {y^2} - 5x + y + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 2xy - 4x - xy - {y^2} + 2y - x - y + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2x(x + y - 2) - y\left( {x + y - 2} \right) - \left( {x + y - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + y - 2} \right)\left( {2x - y - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + y - 2 = 0\\
2x - y - 1 = 0
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Với \(x+y-2=0\Leftrightarrow x=2-y\) Thay vào phương trình (2) ta có:

\(\begin{align} & \left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+2-y+y-4=0 \\ & \Leftrightarrow {{y}^{2}}-4y+4+{{y}^{2}}-2=0 \\ & \Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y+1=0\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=2-y=1. \\\end{align}\)

Vậy \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right)\) là một nghiệm của hệ phương trình.

+) Với \(2x-y-1=0\Leftrightarrow y=2x-1\) Thay vào phương trình (2) ta có:

\({x^2} + {\left( {2x - 1} \right)^2} + x + 2x - 1 - 4 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} - x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - \frac{4}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = - \frac{{13}}{5}
\end{array} \right..\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm là \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( 1;1 \right);\ \left( -\frac{4}{5};-\frac{13}{5} \right) \right\}\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link