a) Cho parabol \(\left( P \right):y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 272382:

Vận dụng

a) Cho parabol \(\left( P \right):y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y=\frac{11}{8}x-\frac{3}{2}\) Gọi \(A,B\) là các giao điểm của \(\left( P \right)\)

và \(\left( d \right)\) Tìm tọa độ điểm \(C\) trên trục tung sao cho \(CA+CB\) có giá trị nhỏ nhất.

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & 2{{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}-5x+y+2=0 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y-4=0 \\\end{align} \right.\)

A. a) \(C\left( 0;\frac{1}{2} \right)\)

b) \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( 1;1 \right);\ \left( -\frac{4}{5};-\frac{13}{5} \right) \right\}\)

B. a) \(C\left( 0;\frac{3}{2} \right)\)

b) \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( -1;2 \right);\ \left( -\frac{1}{5};-\frac{13}{5} \right) \right\}\)

C. a) \(C\left( 0;\frac{3}{2} \right)\)

b) \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( 1;1 \right);\ \left( -\frac{4}{5};-\frac{13}{5} \right) \right\}\)

D. a) \(C\left( 0;\frac{5}{2} \right)\)

b) \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( 1;1 \right);\ \left( -\frac{1}{5};-\frac{3}{5} \right) \right\}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272382

Phương pháp giải

a) Sử dụng bất đẳng thức Mincopski (bdt vector ) : Cho các số thực \(a,b,x,y\) ta có :

\(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+x \right)}^{2}}+{{\left( b+y \right)}^{2}}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

b) Phân tích phương trình (1) thành nhân tử , sau đó thế xuống phương trình (2)

Giải chi tiết

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình :

\(\frac{1}{4}{{x}^{2}}=\frac{11}{8}x-\frac{3}{2}\Leftrightarrow \left( 2x-3 \right)\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=4 \\ & x=\frac{3}{2} \\\end{align} \right.\)

Suy ra \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại \(A\left( 4;4 \right),B\left( \frac{3}{2};\frac{9}{16} \right)\)

Giả sử \(C\left( 0;a \right)\) là điểm cần tìm

\(\Rightarrow CA+CB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{(4-a)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( a-\frac{9}{16} \right)}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( 4+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\left( 4-a+a-\frac{9}{16} \right)}=\frac{11\sqrt{89}}{16}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{4}{\frac{3}{2}}=\frac{4-a}{a-\frac{9}{16}}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}\)

Vậy \(C\left( 0;\frac{3}{2} \right)\) là điểm cần tìm.

b) Xét phương trình (1) ta có

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;2{x^2} + xy - {y^2} - 5x + y + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 2xy - 4x - xy - {y^2} + 2y - x - y + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2x(x + y - 2) - y\left( {x + y - 2} \right) - \left( {x + y - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + y - 2} \right)\left( {2x - y - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + y - 2 = 0\\
2x - y - 1 = 0
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Với \(x+y-2=0\Leftrightarrow x=2-y\) Thay vào phương trình (2) ta có:

\(\begin{align} & \left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+2-y+y-4=0 \\ & \Leftrightarrow {{y}^{2}}-4y+4+{{y}^{2}}-2=0 \\ & \Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y+1=0\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=2-y=1. \\\end{align}\)

Vậy \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right)\) là một nghiệm của hệ phương trình.

+) Với \(2x-y-1=0\Leftrightarrow y=2x-1\) Thay vào phương trình (2) ta có:

\({x^2} + {\left( {2x - 1} \right)^2} + x + 2x - 1 - 4 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} - x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - \frac{4}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1\\
y = - \frac{{13}}{5}
\end{array} \right..\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm là \(\left( x;y \right)=\left\{ \left( 1;1 \right);\ \left( -\frac{4}{5};-\frac{13}{5} \right) \right\}\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link