a) Cho phương trình \({x^2} + 2mx - 1 - 2m = 0\). Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm

Câu hỏi số 272675:

Vận dụng

a) Cho phương trình \({x^2} + 2mx - 1 - 2m = 0\). Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) với mọi m. Tìm m để \(P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 1}}{{x_1^2 - 2m{x_{ 2}} + 1 - 2m}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Cho \(x; y; z > 0\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + z}}} + \sqrt {\dfrac{{yz}}{{yz + x}}} + \sqrt {\dfrac{{xz}}{{xz + y}}} \le \dfrac{3}{2}.\)

A. \(a)\,\,m = \pm \frac{1}{2}\)

B. \(a)\,\,m = -\frac{1}{2}\)

C. \(a)\,\,m = \frac{1}{2}\)

D. a) Không có giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272675

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta \ge 0\,\,\forall m\), sử dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai.

b) Biến đổi \(\sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + z}}} = \sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + z\left( {x + y + z} \right)}}} = \sqrt {\dfrac{{xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)}}} \) , sử dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm \(\dfrac{x}{{z + x}};\,\,\dfrac{y}{{y + z}}\) , chứng minh tương tự cho hai căn thức còn lại.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ' = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m.

Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = - 2m - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 1}}{{x_1^2 + \left( {{x_1} + {x_2}} \right){x_2} + 1 - 2m}}\\\,\,\,\,\,\,P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 1}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} + 1 - 2m}}\\\,\,\,\,\,\,P = \dfrac{{ - 4m - 1}}{{4{m^2} + 2}} = \dfrac{{ - 4m - 1}}{{4{m^2} + 2}} + 1 - 1\\\,\,\,\,\,\,P = \dfrac{{{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}{{4{m^2} + 2}} - 1 \ge - 1.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là – 1 đạt tại \(m = \dfrac{1}{2}.\)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

\(\sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + z}}} = \sqrt {\dfrac{{xy}}{{xy + z\left( {x + y + z} \right)}}} = \sqrt {\dfrac{{xy}}{{\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{x + z}} + \dfrac{y}{{y + z}}} \right)\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {\dfrac{{yz}}{{yz + x}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{z}{{z + x}}} \right)\\\sqrt {\dfrac{{xz}}{{xz + y}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{z}{{y + z}} + \dfrac{x}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow P \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{x + z}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{z}{{x + z}} + \dfrac{z}{{y + z}} + \dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{y}{{y + z}}} \right)\\ \Leftrightarrow P \le \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{x}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + z}}} \right) + \left( {\dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{x}{{x + y}}} \right) + \left( {\dfrac{z}{{y + z}} + \dfrac{y}{{y + z}}} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow P \le \dfrac{1}{2}.3 = \dfrac{3}{2}.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\dfrac{3}{2}\) đạt tại: \(x = y = z = \dfrac{1}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link