Cho biểu thức \(\left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=2018\) Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 273207:

Vận dụng

Cho biểu thức \(\left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=2018\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+y\).

A. \(Min P=\frac{2017\sqrt{2016}}{2016}\)

B. \(Min P=\frac{2017\sqrt{2018}}{2018}\)

C. \(Min P=\frac{2019\sqrt{2018}}{2018}\)

D. \(Min P=\frac{2019\sqrt{2015}}{2015}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273207

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có: \(x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{2018}{y+\sqrt{1+{{y}^{2}}}}=\frac{2018\left( y-\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)}{{{y}^{2}}-\left( 1+{{y}^{2}} \right)}=2018\left( \sqrt{1+{{y}^{2}}}-y \right).\)

Tương tự ta có: \(y+\sqrt{1+{{y}^{2}}}=2018\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-x \right).\)

Cộng từng vế của hai phương trình trên ta được: \(2019\left( x+y \right)=2017\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right).\)

Xét: \(A={{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=2+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\sqrt{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow A\ge 2+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\left( 1+xy \right)=4+{{\left( x+y \right)}^{2}}. \\ & \Rightarrow VP\ge 2017\sqrt{4+{{\left( x+y \right)}^{2}}} \\ & \Rightarrow VT=2019\left( x+y \right)\ge 2017\sqrt{4+{{\left( x+y \right)}^{2}}} \\ & \Rightarrow 2019P\ge 2017\sqrt{4+{{P}^{2}}} \\ & \Rightarrow {{2019}^{2}}.{{P}^{2}}\ge {{2017}^{2}}\left( 4+{{P}^{2}} \right) \\ & \Rightarrow {{P}^{2}}\ge \frac{{{4.2017}^{2}}}{2.4036}\Rightarrow P\ge \sqrt{\frac{{{2017}^{2}}}{2018}}=\frac{2017\sqrt{2018}}{2018}. \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{2017\sqrt{2018}}{2018}.\)

Vậy \(Min\;\;P = \frac{{2017\sqrt {2018} }}{{2018}}\) khi \(x = y = \frac{{2017\sqrt {2018} }}{{4036}}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link