Cho biểu thức \(\left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=2018\) Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 273207:

Vận dụng

Cho biểu thức \(\left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=2018\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+y\).

A. \(Min P=\frac{2017\sqrt{2016}}{2016}\)

B. \(Min P=\frac{2017\sqrt{2018}}{2018}\)

C. \(Min P=\frac{2019\sqrt{2018}}{2018}\)

D. \(Min P=\frac{2019\sqrt{2015}}{2015}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273207

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có: \(x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{2018}{y+\sqrt{1+{{y}^{2}}}}=\frac{2018\left( y-\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)}{{{y}^{2}}-\left( 1+{{y}^{2}} \right)}=2018\left( \sqrt{1+{{y}^{2}}}-y \right).\)

Tương tự ta có: \(y+\sqrt{1+{{y}^{2}}}=2018\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-x \right).\)

Cộng từng vế của hai phương trình trên ta được: \(2019\left( x+y \right)=2017\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right).\)

Xét: \(A={{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=2+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\sqrt{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow A\ge 2+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\left( 1+xy \right)=4+{{\left( x+y \right)}^{2}}. \\ & \Rightarrow VP\ge 2017\sqrt{4+{{\left( x+y \right)}^{2}}} \\ & \Rightarrow VT=2019\left( x+y \right)\ge 2017\sqrt{4+{{\left( x+y \right)}^{2}}} \\ & \Rightarrow 2019P\ge 2017\sqrt{4+{{P}^{2}}} \\ & \Rightarrow {{2019}^{2}}.{{P}^{2}}\ge {{2017}^{2}}\left( 4+{{P}^{2}} \right) \\ & \Rightarrow {{P}^{2}}\ge \frac{{{4.2017}^{2}}}{2.4036}\Rightarrow P\ge \sqrt{\frac{{{2017}^{2}}}{2018}}=\frac{2017\sqrt{2018}}{2018}. \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{2017\sqrt{2018}}{2018}.\)

Vậy \(Min\;\;P = \frac{{2017\sqrt {2018} }}{{2018}}\) khi \(x = y = \frac{{2017\sqrt {2018} }}{{4036}}.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link