Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 273209:

Vận dụng cao

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=1\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}}}}\)

A. \({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B. \({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

C. \({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)

D. \({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273209

Giải chi tiết

\(\begin{align} & \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}+\frac{1}{27}\ge \frac{2}{\sqrt{27\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{27}}{2}\left( \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}+\frac{1}{27} \right) \\ \end{align}\)

Chứng minh tương tự ta có

\(\begin{align} & \frac{1}{\sqrt{5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{27}}{2}\left( \frac{1}{\left( 5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}} \right)}+\frac{1}{27} \right) \\ & \frac{1}{\sqrt{5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{27}}{2}\left( \frac{1}{\left( 5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}} \right)}+\frac{1}{27} \right) \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow P\le \frac{\sqrt{27}}{2}\left( \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}+\frac{1}{\left( 5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}} \right)}+\frac{1}{\left( 5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}} \right)}+\frac{1}{9} \right)\)

Sử dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\)ta có:

\(\begin{align} & \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}=\frac{1}{3{{a}^{2}}+\left( 2ab+{{a}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{3{{a}^{2}}}+\frac{1}{2ab+{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}} \right) \\ & \le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{3{{a}^{2}}}+\frac{1}{9}\left( \frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{{{a}^{2}}} \right)+\frac{1}{9}\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}} \right) \right) \\ & =\frac{1}{9}\left( \frac{5}{9{{a}^{2}}}+\frac{2}{9ab}+\frac{2}{9{{b}^{2}}} \right) \\ \end{align}\)

Ta lại có \(\frac{2}{9ab}\overset{Cauchy}{\mathop{\le }}\,\frac{1}{9}\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}} \right)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}\le \frac{1}{9}\left( \frac{5}{9{{a}^{2}}}+\frac{1}{9{{a}^{2}}}+\frac{1}{9{{a}^{2}}}+\frac{2}{9{{b}^{2}}} \right)=\frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{b}^{2}}} \right)\)

CMTT ta có :

\(\begin{align} & \frac{1}{5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}\le \frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{b}^{2}}}+\frac{1}{3{{c}^{2}}} \right) \\ & \frac{1}{5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}}}\le \frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{c}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}} \right) \\ & \Rightarrow \frac{1}{\left( 5{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}} \right)}+\frac{1}{\left( 5{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}} \right)}+\frac{1}{\left( 5{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}} \right)} \\ & \le \frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{b}^{2}}} \right)+\frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{b}^{2}}}+\frac{1}{3{{c}^{2}}} \right)+\frac{1}{9}\left( \frac{2}{3{{c}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}} \right)=\frac{1}{9}\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)=\frac{1}{9} \\ & \Rightarrow P\le \frac{\sqrt{27}}{2}.\left( \frac{1}{9}+\frac{1}{9} \right)=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{align}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=b=c \\ & \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\).

Vậy \({{P}_{\max }}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link