1) Rút gọn biểu thức biết a, b là thực dương:

Câu hỏi số 273703:

Vận dụng

1) Rút gọn biểu thức biết a, b là thực dương: \(P=\frac{\sqrt{{{a}^{3}}}-\sqrt{{{b}^{3}}}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\)

2) Cho 2 số dương a, b và số c khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

3) Cho: \(\left\{ \begin{align} & x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}} \\ & y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}} \\\end{align} \right.\). Tính giá trị biểu thức: \(M={{(x-y)}^{3}}+3(x-y)(xy+1)\)

A. 1) \(P=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

3) \(M=- 20\sqrt 2 \)

B. 1) \(P=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

3) \(M=- 20\sqrt 2 \)

C. 1) \(P=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

3) \(M=- 10\sqrt 2 \)

D. 1) \(P=\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

3) \(M=- 2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273703

Phương pháp giải

1) Ta quy đồng mẫu số với mẫu số chung a – b.

2) Chú ý rút c theo a, b thay vào biểu thức.

3) Áp dụng hằng dẳng thức đáng nhớ về mũ 3.

Giải chi tiết

1) Rút gọn biểu thức biết a, b là thực dương: \(P=\frac{\sqrt{{{a}^{3}}}-\sqrt{{{b}^{3}}}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\)

\(\begin{align} & P=\frac{\sqrt{{{a}^{3}}}-\sqrt{{{b}^{3}}}}{a-b}-\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} \\ & \ \ \ =\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}-a\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)+b\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)} \\ & \ \ \ =\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}-a\sqrt{a}+a\sqrt{b}+b\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)} \\ & \ \ \ =\frac{\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}. \\ \end{align}\)

2) Cho 2 số dương a, b và số c khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

Ta có:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{c} = - \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\\
\frac{{ab + ac + bc}}{{abc}} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c < 0\\
ab + ac + bc = 0
\end{array} \right..\)

\(\begin{align} & \ \ \ \ \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c} \\ & \Leftrightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{(a+c)(b+c)} \\ & \Leftrightarrow c+\sqrt{ab+ac+bc+{{c}^{2}}}=0 \\ & \Leftrightarrow c+\sqrt{{{c}^{2}}}=0 \\ & \Leftrightarrow c-c=0\ \ \ \ (c<0) \\\end{align}\)

Vậy \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}.\)

3) Cho: \(\left\{ \begin{align}& x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}} \\& y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}} \\\end{align} \right.\). Tính giá trị biểu thức: \(M={{(x-y)}^{3}}+3(x-y)(xy+1)\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }}\\
y = \sqrt[3]{{17 + 12\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{17 - 12\sqrt 2 }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }}} \right)^3}\\
{y^3} = {\left( {\sqrt[3]{{17 + 12\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{17 - 12\sqrt 2 }}} \right)^3}
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 3 + 2\sqrt 2 - 3\sqrt[3]{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}\left( {\sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }}} \right) - 3 + 2\sqrt 2 \\
{y^3} = 17 + 12\sqrt 2 - 3\sqrt[3]{{\left( {17 + 12\sqrt 2 } \right)\left( {17 - 12\sqrt 2 } \right)}}\left( {\sqrt[3]{{17 + 12\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{17 - 12\sqrt 2 }}} \right) - 17 + 12\sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 4\sqrt 2 - 3x\\
{y^3} = 24\sqrt 2 - 3y
\end{array} \right..\\
\Rightarrow M = {\left( {x - y} \right)^3} + 3\left( {x - y} \right)\left( {xy + 1} \right)\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^3} - 3xy\left( {x - y} \right) - {y^3} + 3xy\left( {x - y} \right) + 3\left( {x - y} \right)\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^3} - {y^3} + 3\left( {x - y} \right)\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 4\sqrt 2 - 3x - 24\sqrt 2 + 3y + 3x - 3y\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; = - 20\sqrt 2 .
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link