a) Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có \(ab+bc+ca\le \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}\) b) Cho

Câu hỏi số 275039:

Vận dụng cao

a) Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có \(ab+bc+ca\le \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}\)

b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=\frac{3}{4}\) Chứng minh

\(6\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+10\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9\)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:275039

Giải chi tiết

a) Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có \(ab+bc+ca\le \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}\)

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,ab+bc+ca\le \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3} \\ & \Leftrightarrow 3\left( ab+bc+ca \right)\le {{\left( a+b+c \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 3\left( ab+bc+ca \right)\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right) \\ & \Leftrightarrow ab+bc+ca\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\left( ab+bc+ca \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2\left( ab+bc+ca \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)+\left( {{b}^{2}}-2bc+{{c}^{2}} \right)+\left( {{c}^{2}}-2ca+{{a}^{2}} \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0\,\,\left( luon\,\,dung \right) \\ \end{align}\)

b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=\frac{3}{4}\) Chứng minh

\(6\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+10\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9\)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

\(\begin{align} & 6\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+10\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9 \\ & \Leftrightarrow 6\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+xz \right) \right)-12\left( xy+yz+xz \right)+10\left( xy+yz+xz \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9 \\ & \Leftrightarrow 6{{\left( x+y+z \right)}^{2}}-2\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9 \\ & \Leftrightarrow 6.{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}-2\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9 \\ & \Leftrightarrow \frac{27}{8}-2\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)

Áp dụng BĐT ở ý a) ta có:

\(xy+yz+zx\le \frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{3}=\frac{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}}{3}=\frac{3}{16}\Rightarrow -2\left( xy+yz+zx \right)\ge \frac{-3}{8}\)

Áp dụng BĐT phụ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\,\,\left( a,b,c\ge 0 \right)\)

Chứng minh:

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( a+b+c \right)\ge 9\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{align} & \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt{\frac{1}{abc}} \\ & a+b+c\ge 3\sqrt{abc} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( a+b+c \right)\ge 3\sqrt{\frac{1}{abc}}.3\sqrt{abc}=9\,\,\left( dpcm \right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\ge \frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\frac{9}{4\left( x+y+z \right)}=\frac{9}{4.\frac{3}{4}}=3\)

\(\Rightarrow V{{T}_{\left( * \right)}}\ge \frac{27}{8}-\frac{3}{8}+2.3\ge 9\,\,\left( dpcm \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link