a) Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có \(ab+bc+ca\le \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}\) b) Cho

Câu hỏi số 275039:

Vận dụng cao

a) Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có \(ab+bc+ca\le \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}\)

b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=\frac{3}{4}\) Chứng minh

\(6\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+10\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9\)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:275039

Giải chi tiết

a) Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có \(ab+bc+ca\le \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}\)

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,ab+bc+ca\le \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3} \\ & \Leftrightarrow 3\left( ab+bc+ca \right)\le {{\left( a+b+c \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 3\left( ab+bc+ca \right)\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2\left( ab+bc+ca \right) \\ & \Leftrightarrow ab+bc+ca\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\left( ab+bc+ca \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2\left( ab+bc+ca \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)+\left( {{b}^{2}}-2bc+{{c}^{2}} \right)+\left( {{c}^{2}}-2ca+{{a}^{2}} \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0\,\,\left( luon\,\,dung \right) \\ \end{align}\)

b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=\frac{3}{4}\) Chứng minh

\(6\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+10\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9\)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

\(\begin{align} & 6\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+10\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9 \\ & \Leftrightarrow 6\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+xz \right) \right)-12\left( xy+yz+xz \right)+10\left( xy+yz+xz \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9 \\ & \Leftrightarrow 6{{\left( x+y+z \right)}^{2}}-2\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9 \\ & \Leftrightarrow 6.{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}-2\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9 \\ & \Leftrightarrow \frac{27}{8}-2\left( xy+yz+xz \right)+2\left( \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z} \right)\ge 9\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)

Áp dụng BĐT ở ý a) ta có:

\(xy+yz+zx\le \frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{3}=\frac{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}}{3}=\frac{3}{16}\Rightarrow -2\left( xy+yz+zx \right)\ge \frac{-3}{8}\)

Áp dụng BĐT phụ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\,\,\left( a,b,c\ge 0 \right)\)

Chứng minh:

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( a+b+c \right)\ge 9\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{align} & \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt{\frac{1}{abc}} \\ & a+b+c\ge 3\sqrt{abc} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( a+b+c \right)\ge 3\sqrt{\frac{1}{abc}}.3\sqrt{abc}=9\,\,\left( dpcm \right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\ge \frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\frac{9}{4\left( x+y+z \right)}=\frac{9}{4.\frac{3}{4}}=3\)

\(\Rightarrow V{{T}_{\left( * \right)}}\ge \frac{27}{8}-\frac{3}{8}+2.3\ge 9\,\,\left( dpcm \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link