Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\left( \sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c}}

Câu hỏi số 276809:

Vận dụng

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\left( \sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c}} \right)\left( \frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}} \right)\le 2.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:276809

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.

Giải chi tiết

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\left( \sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c}} \right)\left( \frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}} \right)\le 2.\)

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có:

\(\begin{align} & \left( \sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c}} \right)\left( \frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}} \right)\le \sqrt{2\left( \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c} \right)}.\sqrt{2\left( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} \right)} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\sqrt{\left( \frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c} \right)\left( \frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c} \right)} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \le \left( \frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c} \right)+\left( \frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b} \right)+\left( \frac{c}{b+c}+\frac{b}{b+c} \right)=2. \\ \end{align}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link