Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp (O) có CD // BE. Hai đường chéo CE và BD cắt nhau tại P. Điểm M
Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp (O) có CD // BE. Hai đường chéo CE và BD cắt nhau tại P. Điểm M thuộc BE sao cho \(\angle MAB=\angle PAE.\) Điểm K thuộc AC sao cho MK song song AD, điểm L thuộc đường thẳng AD sao cho ML // AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC cắt BD, CE tại Q và S (Q khác B. S khác C).
a) Chứng minh 3 điểm K, M, Q thẳng hàng.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE cắt BD, CE tại T và R (T khác D, R khác E). Chứng minh: M, S, Q, R, T cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc (O).
Quảng cáo
a) Dựa vào các tứ giác nội tiếp BCQK và BCDA.
b) Chứng minh MQ// AD, RTMQ nội tiếp.
c) Sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề: cho tam giác ABC, M nằm trên d // BC lấy E khác M trên D, AM cắt BC tại I. Đường qua M // AB cắt BE tại J, khi đó IJ // AE.
a) Chứng minh 3 điểm K, M, Q thẳng hàng.
Do các tứ giác BCQK và BCDA nội tiếp nên: \(\angle CKQ=\angle CBQ=\angle CAD\Rightarrow KQ//AD.\) Mặt khác MK// AD nên K, M, Q thẳng hàng.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE cắt BD, CE tại T và R. Chứng minh: M, S, Q, R, T cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh tương tự ta có: R, M, L thẳng hàng.
MQ// AD nên: \(\angle RMQ=\angle RLD=\angle RTD\Rightarrow \) tứ giác RTMQ nội tiếp.
Chứng minh tương tự: RMSQ nội tiếp, do đó: M, S, Q, R, T cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc (O).
Bồ đề: cho tam giác ABC, M nằm trên d // BC lấy E khác M trên D, AM cắt BC tại I. Đường qua M // AB cắt BE tại J, khi đó IJ // AE.
Chứng minh: MJ cắt AE, AC tại S và T, ME cắt AC tại G. Ta có MG // BC suy ra: \(\frac{MA}{MI}=\frac{AG}{GC}\), ME cắt AB tại P ta có: \(\frac{MS}{MJ}=\frac{AP}{PB}=\frac{AG}{GC}=\frac{MA}{MI}\Rightarrow AE//\text{IJ}.\)
Quay trở lại bài toán:
AM cắt BC, (O) tại I và J khác A. Áp dụng bổ đề ta có: IR // AE, IQ // AB. Do đó:
\(\angle IRE=\angle AEC=\angle AJC\Rightarrow \) nên RIJC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh tương tự ta có: DQIJ là tứ giác nội tiếp.
Do đó: \(\angle RJI+\angle IJQ+\angle RPD=2\angle PCD+\angle CPD={{180}^{0}}\) nên RPQJ nội tiếp. Kẻ tiếp tuyến Jx của (O).
Ta có:
\(\begin{align} & \angle xJR=\angle xJA-\angle RJA=\angle ADJ-\angle PDC=\angle ADP+\angle MAC=\angle ADP+\angle PAD=\angle APB \\ & \angle PEJ=\angle MAC=\angle PED. \\ \end{align}\)
Gọi JP cắt (O) tại X khác J thì: AJ // BE// CE, do đó:
\(\angle PJE=\angle ADP\Rightarrow \angle APB=\angle RBJ=\angle RQJ\Rightarrow \angle xJR=\angle RQJ\)
Suy ra: Jx tiếp xúc với (PQR) hay ta thu được: (PQR) tiếp xúc với (O).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
