Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m\,\,\left( C \right)\) với \(m\)là tham số thực. Gọi A là điểm

Câu hỏi số 279320:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m\,\,\left( C \right)\) với \(m\)là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm tham số \(m\) để tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn \(\left( T \right):\,\,{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

A. \(m = \frac{{16}}{{13}}\)

B. \(m = - \frac{{13}}{{16}}\)

C. \(m = \frac{{13}}{{16}}\)

D. \(m = - \frac{{16}}{{13}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:279320

Phương pháp giải

+) Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại A.

+) Để \(\left( \Delta \right)\) cắt đường tròn \(\left( T \right)\) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì \(d\left( {I;\Delta } \right)\) lớn nhất với I là tâm của đường tròn \(\left( T \right)\).

Giải chi tiết

\({x_A} = 1 \Rightarrow {y_A} = 1 - 2m + m = 1 - m \Rightarrow A\left( {1;1 - m} \right)\)

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 4 - 4m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\left( {1;1 - m} \right)\) là:

\(y = \left( {4 - 4m} \right)\left( {x - 1} \right) + 1 - m \Leftrightarrow \left( {4 - 4m} \right)x - y + 3m - 3 = 0\,\,\left( \Delta \right)\)

Đường tròn \(\left( T \right)\) có tâm \(I\left( {0;1} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Để \(\left( \Delta \right)\) cắt đường tròn \(\left( T \right)\) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì \(d\left( {I;\Delta } \right)\) lớn nhất.

Ta có \(d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1 + 3m - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {4 - 4m} \right)}^2} + 1} }} = \frac{{\left| {3m - 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {4 - 4m} \right)}^2} + 1} }}\)

Đến đây ta thử lần lượt các đáp án ta thấy khi \(m = \frac{{13}}{{16}}\) thì \(d{\left( {I;\Delta } \right)_{\max }}\).

Chọn đáp án C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.