Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Hai điểm \(M,\;N\) lần lượt di động trên hai đoạn
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Hai điểm \(M,\;N\) lần lượt di động trên hai đoạn thẳng \(AB,\;\;AC\) sao cho \(\frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AN}}{{NC}} = 1.\) Đặt \(AM = x\) và \(AN = y.\) Chứng minh: \(MN = a - x - y.\)
Quảng cáo
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng AB, AC sao cho \(\frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AN}}{{NC}} = 1\). Đặt \(AM = x;\,\,AN = y\).
Chứng minh \(MN = a - x - y\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AN}}{{NC}} = 1 \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB - AM}} + \frac{{AN}}{{AC - AN}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{{a - x}} + \frac{y}{{a - y}} = 1\\ \Leftrightarrow ax - xy + ay - xy = {a^2} - ax - ay + xy\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ax - 2ay + 3xy = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + 2xy = {x^2} + {y^2} - xy\\ \Leftrightarrow {\left( {a - x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - xy\end{array}\)
Giả sử \(x > y\) , kẻ MM’ // BC, NN’ // BC \(M' \in AC;\,\,N' \in AB\).
Áp dụng định lí Ta-let ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AM'}}{{AC}};\,\,AB = AC \Rightarrow AM = AM'\)
\(\angle BAC = {60^0} \Rightarrow \angle MAM' = {60^0} \Rightarrow \Delta AMM'\) đều \( \Rightarrow MM' = AM = x\).
Chứng minh tương tự ta có : \(NN' = y\)
MM’ // NN’ ; \(\angle AMM' = \angle AM'M = {60^0} \Rightarrow \) tứ giác MM’NN’ là hình thang cân.
Ta có \(MN' = M'N = x - y\).
Kẻ \(NH \bot MM'\) ta có : \(M'H = \frac{{x - y}}{2};\,\,MH = \frac{{x + y}}{2}\).
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM’ có :
\(NH = \sqrt {NM{'^2} - M'{H^2}} = \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\sqrt 3 }}{2}\)
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM có :
\(\begin{array}{l}MN = \sqrt {N{H^2} + M{H^2}} \\ = \sqrt {\frac{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{4{x^2} + 4{y^2} - 4xy}}{4}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} - xy} = \sqrt {{{\left( {a - x - y} \right)}^2}} = \left| {a - x - y} \right|\end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{{AM}}{{MB}} + \frac{{AN}}{{NC}} = 1\\ \Rightarrow \frac{{AM}}{{MB}} < 1 \Rightarrow AM < MB\\ \Rightarrow AM + AM < AM + MB = AB = a\\ \Rightarrow AM < \frac{1}{2}a\end{array}\)
Chứng minh tương tự ta có \(AN < \frac{1}{2}a\)
\( \Rightarrow a - x - y > a - \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}a = 0 \Rightarrow \left| {a - x - y} \right| = a - x - y\)
Vậy \(MN = a - x - y\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
