Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số) Giả sử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm

Câu hỏi số 279684:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số)

Giả sử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\)

A. \(\frac{{ - 1}}{2}\)

B. \(\frac{{ - 1}}{3}\)

C. \( - 1\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:279684

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, sử dụng hệ thức Vi – ét.

Giải chi tiết

Cho phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số)

Giả sử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\)

Ta có \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) với mọi \(m.\)

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

Khi đó :

\(\begin{array}{l}B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\\B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + 2{x_1}{x_2} + 2}}\\B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}}\\B = \frac{{2\left( {m - 1} \right) + 3}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}\\ \Rightarrow 2B + 1 = 2.\frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} + 1 = \frac{{4m + 2 + {m^2} + 2}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{m^2} + 4m + 4}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}}\end{array}\)

Ta có \({\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0;\,\,{m^2} + 2 > 0 \Leftrightarrow 2B + 1 \ge 0 \Leftrightarrow B \ge - \frac{1}{2}\)

Vậy \({B_{\min }} = - \frac{1}{2}\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m = - 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link