Tính bán kính \(R\)của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a.
Tính bán kính \(R\)của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Xác định trục của mặt đáy (đường thẳng đi qua tâm đáy và vuông góc với đáy).
+) Xác định đường trung trực của một mặt bên.
+) Xác định giao điểm của hai đường thẳng trên.
Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của BC, CD, AD; G là trọng tâm tam giác BCD; O là giao điểm của AG và EI.
* Ta chứng minh: O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:
Thật vậy:
Do tam giác BCD đều, G là trọng tâm \( \Rightarrow G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp
Do tứ diện ABCD đều \( \Rightarrow AG \bot (BCD)\)
Điểm \(O \in AG \Rightarrow OB = OC = OD\,\,(1)\)
Do \(AE = DE \Rightarrow \Delta AED\) cân tại E \( \Rightarrow EI\) là trung trực của AD \( \Rightarrow OA = OD\,\,(2)\)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow \) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
* Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD:
\(\Delta BCD\) đều, cạnh bằng a \( \Rightarrow ED = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow EG = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},\,\,\,GD = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\Delta EID\) vuông tại I \( \Rightarrow EI = \sqrt {E{D^2} - I{D^2}} = \sqrt {\frac{3}{4}{a^2} - \frac{1}{4}{a^2}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}a\)
\(\Delta OEG\) đồng dạng \(\Delta DEI\) \( \Rightarrow \frac{{OG}}{{ID}} = \frac{{EG}}{{EI}} \Leftrightarrow \frac{{OG}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}a}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow OG = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\)
\(\Delta OGD\) vuông tại G \( \Rightarrow OD = \sqrt {O{G^2} + G{D^2}} = \sqrt {\frac{1}{6}{a^2} + \frac{1}{3}{a^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD là \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
