Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam

Câu hỏi số 282242:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp được đường tròn.

b) Biết \(\widehat {EBC} = {30^0}.\) Tính số đo \(\widehat {EMC}\) .

c) Chứng minh \(\widehat {FDE} = \widehat {FME}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:282242

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp được đường tròn.

Ta có: AD, CF lần lượt là các đường cao của tam giác ABC nên: \(\widehat {ADB} = \widehat {BFC} = {90^0}\,\,\left( {hay\,\,\,\widehat {HDB} = \widehat {BFH} = {{90}^0}\,\,} \right)\)

Nên: \(\widehat {BFH} + \widehat {BDH} = {180^0}\)

Suy ra tứ giác BFHD nội tiếp được đường tròn đường kính BH với tâm là trung điểm của BH. (tổng 2 góc đối trong 1 tứ giác bằng \({180^0}\)

b) Biết \(\widehat {EBC} = {30^0}.\) Tính số đo \(\widehat {EMC}\) .

Ta có: \(\widehat {EBC} = {30^0} \Rightarrow \widehat {BCE} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\,\,\left( {BE \bot EC\,} \right)\)

Xét tam giác vuông BEC vuông tại E có EM là trung tuyến nên: \(EM = MC = MB = \frac{1}{2}BC\)

Nên tam giác EMC là tam giác đều khi đó ta có: \(\widehat {EMC} = {60^0}\)

Vậy \(\widehat {EMC} = {60^0}\)

c) Chứng minh \(\widehat {FDE} = \widehat {FME}\)

Xét tứ giác BFEC ta có: \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^0}\left( {gt} \right)\)

Mà 2 đỉnh E, F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông nên tứ giác BFEC nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {EFC} = \widehat {EBC}\left( {\,hay\,\,\widehat {EFH} = \widehat {HBD}} \right)\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC) (1)

Mà tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn (chứng minh câu a)

\( \Rightarrow \widehat {HBD} = \widehat {HFD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HD) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {EFH} = \widehat {HFD}\).

Mà \(\widehat {EFH} = \widehat {HAE}\) (tứ giác AFHE nội tiếp)

\(\widehat {HFD} = \widehat {HBD}\) (tứ giác BFHD nội tiếp)

Từ đó ta có: \(\widehat {DFE} = \widehat {DFH} + \widehat {HFE} = 2\widehat {HAE} = 2\left( {{{90}^0} - \widehat {MEC}} \right) = {180^0} - 2\widehat {MEC} = \widehat {EMC}\) (do tam giác MEC cân tại M)

Xét tứ giác DFEM ta có: \(\widehat {DFE} = \widehat {EMC}\) nên tứ giác DFEM nội tiếp.

Vậy ta có: \(\widehat {FDE} = \widehat {FME}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link