Cho 4 số thực dương a, b, c, d chứng mình rằng trong 4 số \({a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c};{b^2} +

Câu hỏi số 283312:

Vận dụng cao

Cho 4 số thực dương a, b, c, d chứng mình rằng trong 4 số \({a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c};{b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d};{c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a};{d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) tồn tại ít nhất 1 số không nhỏ hơn 3.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:283312

Phương pháp giải

Chứng minh bằng phản chứng

Giải chi tiết

Giả sử bốn số \({a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c};{b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d};{c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a};{d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) đều nhỏ hơn 3

Suy ra \({a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + {b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + {c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a} + {d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 12\) (1)

Ta lại có

\(\begin{array}{l}{a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + {b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + {c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a} + {d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{d}\\{a^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}}} = 3\,\,\left( {BDT\,\,Co - si} \right)\end{array}\)

Tương tự với b; c; d

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{d} \ge 3.4 = 12\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra vô lý

Vậy tồn tại ít nhất 1 số không nhỏ hơn 3 (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link