Với \(a\),\(b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{{1 + ab}}{{\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} }}\)

Câu 283311: Với \(a\),\(b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{{1 + ab}}{{\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} }}\)

Xem lời giải

Câu hỏi : 283311

Phương pháp giải:

+) Sử dụng linh hoạt giả thiết đã cho

+) Vận dụng thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng phân thức, hằng đẳng thức

(0) bình luận (0) lời giải

** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây
Viết lời giải

Up ảnh lời giải
Viết công thức
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{a}{{ab + a + b + {a^2}}} + \frac{b}{{ab + a + b + {b^2}}}\\ = \frac{a}{{a\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{a}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \frac{b}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + 1} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b + 1} \right) + b\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{ab + a + ab + b}}{{\left( {ab + a + b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{2\left( {a + b} \right)}}\end{array}\)

Bây giờ ta cần chứng minh \(2\left( {a + b} \right) = \sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} \) là bài toán được giải quyết.

Ta có \(ab + a + b = 1 \Leftrightarrow ab = 1 - a - b\)

\(\begin{array}{l}\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}} \right) = 1 + {a^2} + {b^2} + {\left( {1 - a - b} \right)^2}\\ = 1 + {a^2} + {b^2} + 1 + {a^2} + {b^2} - 2a - 2b + 2ab = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + 1 - a - b} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + ab} \right) = 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) = 2{\left( {a + b} \right)^2}\end{array}\)

Suy ra \(\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} = \sqrt {2.2{{\left( {a + b} \right)}^2}} = 2\left( {a + b} \right)\) (dpcm).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.