Với \(a\),\(b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{1 +

Câu hỏi số 283311:

Vận dụng cao

Với \(a\),\(b\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + a + b = 1\). Chứng minh rằng: \(\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{{1 + ab}}{{\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} }}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:283311

Phương pháp giải

+) Sử dụng linh hoạt giả thiết đã cho

+) Vận dụng thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng phân thức, hằng đẳng thức

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\frac{a}{{1 + {a^2}}} + \frac{b}{{1 + {b^2}}} = \frac{a}{{ab + a + b + {a^2}}} + \frac{b}{{ab + a + b + {b^2}}}\\ = \frac{a}{{a\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{a}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + 1} \right)}} + \frac{b}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + 1} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b + 1} \right) + b\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{ab + a + ab + b}}{{\left( {ab + a + b + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{1 + ab}}{{2\left( {a + b} \right)}}\end{array}\)

Bây giờ ta cần chứng minh \(2\left( {a + b} \right) = \sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} \) là bài toán được giải quyết.

Ta có \(ab + a + b = 1 \Leftrightarrow ab = 1 - a - b\)

\(\begin{array}{l}\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}} \right) = 1 + {a^2} + {b^2} + {\left( {1 - a - b} \right)^2}\\ = 1 + {a^2} + {b^2} + 1 + {a^2} + {b^2} - 2a - 2b + 2ab = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + 1 - a - b} \right)\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2} + ab + ab} \right) = 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) = 2{\left( {a + b} \right)^2}\end{array}\)

Suy ra \(\sqrt {2\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} = \sqrt {2.2{{\left( {a + b} \right)}^2}} = 2\left( {a + b} \right)\) (dpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link