Phương trình \(3\cos x + 2|\sin x| = 2\) có mấy nghiệm âm lớn hơn \( - 10\pi \)?

Câu hỏi số 285057:

Vận dụng

A. 10

B. 11

C. 9

D. 12

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285057

Phương pháp giải

Phá dấu giá trị tuyệt đối để đưa phương trình về dạng cơ bản: \(a\sin x + b\cos x = c\)

Giải chi tiết

Xét \(x \in \left[ {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right],\,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 0 \le \sin x \le 1 \Rightarrow \left| {\sin x} \right| = \sin x.\) Phương trình:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\cos x + 2|\sin x| = 2\\ \Leftrightarrow 2\sin x + 3\cos x = 2\\ \Leftrightarrow \sin x \cdot \frac{2}{{\sqrt {13} }} + \cos x \cdot \frac{3}{{\sqrt {13} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\,\,\,\,\left( {\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt {13} }};\;sin\alpha = \frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \alpha = \frac{\pi }{2} - \alpha + k2\pi \\x + \alpha = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 2\alpha + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} - 2\alpha + k2\pi \) không thõa mãn.

Xét \(x \in \left[ {\pi + k2\pi ;2\pi + k2\pi } \right],\;\,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow - 1 \le \sin x \le 0 \Rightarrow \left| {\sin x} \right| = - \sin x.\) Phương trình:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;3\cos x + 2|\sin x| = 2\\ \Leftrightarrow 3\cos x - 2\sin x = 2\\ \Leftrightarrow 2\sin x - 3\cos x = - 2\\ \Leftrightarrow \sin x \cdot \frac{2}{{\sqrt {13} }} - \cos x \cdot \frac{3}{{\sqrt {13} }} = - \frac{2}{{\sqrt {13} }}\,\;\;\,\,\,\left( {\sin \alpha = \frac{3}{{\sqrt {13} }};\;cos\alpha = \frac{2}{{\sqrt {13} }}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \alpha - \cos x\sin \alpha = - \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \alpha } \right) = \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \alpha = - \frac{\pi }{2} + \alpha + k2\pi \\x - \alpha = \pi - \left( { - \frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\alpha - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)\(\)

Nghiệm \(x = 2\alpha - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) không thõa mãn.

Kết hợp nghiệm ta có: \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Xét: \( - 10\pi < \frac{\pi }{2} + k\pi < 0 \Leftrightarrow - 10,5 \le k \le - 0,5 \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 1; - 2;...; - 10} \right\}\), có 10 giá trị của k thõa mãn; tương ứng với 10 nghiệm của phương trình.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.