Phương trình \(\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\)có nghiệm là:

Câu hỏi số 285901:

Thông hiểu

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{2}\\x = k\frac{\pi }{4}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285901

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

- Đưa phương trình về phương trình bậc 2 ẩn t

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\). Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \).

Khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = {t^2} - 1.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Pt \Leftrightarrow t = 1 - \frac{1}{2}\left( {{t^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2t = 2 - {t^2} + 1\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\t = - 3\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k \in Z} \right).\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.