Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết \(A\left( {1;1} \right);\,\,B\left( {0;4}

Câu hỏi số 286316:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết \(A\left( {1;1} \right);\,\,B\left( {0;4} \right);\,\,C\left( { - 4;2} \right)\).

a) Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} \). Tìm k để tam giác ACM cân tại M.

b) Tìm điểm D thuộc trục Oy sao cho góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \) bằng 45⁰

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,M\left( { - \frac{{10}}{9};\frac{{31}}{9}} \right)\\
b)\,\,D\left( {0;\frac{3}{2}} \right)
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,M\left( { - \frac{{10}}{9};\frac{{31}}{9}} \right)\\
b)\,\,D\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,M\left( {\frac{{10}}{9}; - \frac{{31}}{9}} \right)\\
b)\,\,D\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,M\left( {\frac{{10}}{9};\frac{{31}}{9}} \right)\\
b)\,\,D\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)
\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:286316

Phương pháp giải

a) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\), từ giả thiết \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} \) tìm tọa độ điểm M theo 1 ẩn.

Tam giác ACM cân tại \(M \Leftrightarrow MA = MC \Leftrightarrow M{A^2} = M{C^2}\).

b) Sử dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} }}{{AB.AD}}\).

Giải chi tiết

a) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {BM} = \left( {a;b - 4} \right);\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 4; - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4k\\b - 4 = - 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4k\\b = - 2k + 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 4k; - 2k + 4} \right)\)

Để tam giác ACM cân tại M thì \(MA = MC \Leftrightarrow M{A^2} = M{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - 4k - 1} \right)^2} + {\left( { - 2k + 3} \right)^2} = {\left( { - 4k + 4} \right)^2} + {\left( { - 2k + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 8k + 1 - 12k + 9 = - 32k + 16 - 8k + 4\\ \Leftrightarrow 36k = 10 \Leftrightarrow k = \dfrac{5}{{18}} \Rightarrow M\left( { - \dfrac{{10}}{9};\dfrac{{31}}{9}} \right)\end{array}\)

Vậy \(M\left( { - \dfrac{{10}}{9};\dfrac{{31}}{9}} \right)\).

b) Gọi \(D\left( {0;d} \right) \in Oy\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right);\,\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 1;d - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} }}{{AB.AD}} = \dfrac{{1 + 3d - 3}}{{\sqrt {10} \sqrt {1 + {{\left( {d - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{3d - 2}}{{\sqrt {10} \sqrt {{d^2} - 2d + 2} }}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{3d - 2}}{{\sqrt {10} \sqrt {{d^2} - 2d + 2} }} \Leftrightarrow \sqrt 5 \sqrt {{d^2} - 2d + 2} = 3d - 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3d - 2 \ge 0\\5{d^2} - 10d + 10 = 9{d^2} - 12d + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \ge \dfrac{2}{3}\\\left[ \begin{array}{l}d = \dfrac{3}{2}\,\\d = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow d = \dfrac{3}{2} \Rightarrow D\left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)\end{array}\)

Vậy \(D\left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.