Cho ba số thực a, b, c thõa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4\). Khi hàm số \(y = a + b\sqrt 2 \sin x + c\sin

Câu hỏi số 287446:

Vận dụng cao

Cho ba số thực a, b, c thõa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4\). Khi hàm số \(y = a + b\sqrt 2 \sin x + c\sin 2x\) trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) nhận giá trị lớn nhất, hãy tính \(\dfrac{a}{b}\)?

A. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:287446

Phương pháp giải

- Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá y, dùng dữ kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4\)

\(\)\(\left| y \right| = \left| {a + b\sqrt 2 \sin x + c\sin 2x} \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}2x} = 2\sqrt {3 - \cos 2x - {{\cos }^2}2x} \)

- Xét tiếp vế trái bất đẳng thức với dữ kiện \( - 1 \le \cos 2x \le 1\)

- Dùng điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức Bunhiacopxki để tính a, b, c

Giải chi tiết

Ta có: \(\left| y \right| = \left| {a + b\sqrt 2 \sin x + c\sin 2x} \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}2x} = 2\sqrt {3 - \cos 2x - {{\cos }^2}2x} \)

Đặt \(t = \cos 2x\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right).\) Xét: \(f(t) = 3 - t - {t^2} = \frac{{13}}{4} - {\left( {\frac{1}{2} + t} \right)^2} \le \frac{{13}}{4}\)

\(\)Thế thì: \(\left| y \right| \le \sqrt {13} \). Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}t = \cos 2x = - \frac{1}{2}\\a = \frac{b}{{\sqrt 2 \sin x}} = \frac{c}{{\sin 2x}}\end{array} \right.\)

Ta tìm được: \(x = \frac{\pi }{3}\), ta tính được: \(\frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt 2 \sin \frac{\pi }{3}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.