Tìm m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + m\) có ba điểm cực trị là ba

Câu hỏi số 289829:

Vận dụng

Tìm m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + m\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 1.

A. \(m = \sqrt 3 \).

B. \(m = \sqrt 2 \).

C. \(m = 2\).

D. \(m = 3\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:289829

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Nhận xét tam giác tạo thành bởi 3 điểm cực trị là tam giác cân, tính diện tích tam giác cân đó.

Giải chi tiết

\(y = {x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + m \Rightarrow y' = 4{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{{m - 1}}{2}\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì \(\dfrac{{m - 1}}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 1\). Khi đó, giả sử tọa độ ba điểm cực trị là

\(A\left( {0;m} \right),\,\,B\left( { - \sqrt {\dfrac{{m - 1}}{2}} ; - \dfrac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right),\,\,C\left( {\sqrt {\dfrac{{m - 1}}{2}} ; - \dfrac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right)\,\)

Dễ dàng chứng minh tam giác ABC cân tại A, gọi \(H\left( {0; - \dfrac{{{m^2} - 6m + 1}}{4}} \right)\) là trung điểm của BC, khi đó:

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\left| { - \dfrac{{{m^2} - 6m + 1}}{4} - m} \right|.2\sqrt {\dfrac{{m - 1}}{2}} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{{m^2} - 2m + 1}}{4}} \right|\sqrt {\dfrac{{m - 1}}{2}} = 1\\ \Rightarrow {\left( {m - 1} \right)^2}.\sqrt {m - 1} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {m - 1} } \right)^5} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\\ \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} = \sqrt 2 \Leftrightarrow m - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.