Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(A,\,B\)\(\left( {{x_A}

Câu hỏi số 291533:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(A,\,B\)\(\left( {{x_A} > {x_B} > 0} \right)\) là hai điểm trên \(\left( C \right)\) có tiếp tuyến tại \(A,\,B\) song song với nhau và \(AB = 2\sqrt 5 \). Tính \({x_A} - {x_B}\).

A. \({x_A} - {x_B} = 2\).

B. \({x_A} - {x_B} = 4\).

C. \({x_A} - {x_B} = 2\sqrt 2 \).

D. \({x_A} - {x_B} = \sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:291533

Phương pháp giải

+) Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\).

+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và B song song \( \Rightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\).

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).

Giải chi tiết

\(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{x - 1 + 2}}{{x - 1}} = 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}\)

Ta có: TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\) và \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\,\,\,\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)\).

Theo giả thiết \(y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_B} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B}\,\,(L)\\{x_A} + {x_B} = 2\end{array} \right.\)

\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left[ {1 + \dfrac{2}{{{x_B} - 1}} - 1 - \dfrac{2}{{{x_A} - 1}}} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left[ {\dfrac{{2\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}}{{\left( {{x_A} - 1} \right)\left( {{x_B} - 1} \right)}}} \right]}^2}} \)

\( \Rightarrow A{B^2} = 20 \Leftrightarrow {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2}\left[ {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {{x_A}{x_B} - {x_A} - {x_B} + 1} \right)}^2}}}} \right] = 20\)

\( \Rightarrow {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2}\left[ {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {{x_A}{x_B} - 2 + 1} \right)}^2}}}} \right] = 20\), với \({x_A} + {x_B} = 2\)

\( \Rightarrow \left( {{{\left( {{x_B} + {x_A}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \right)\left[ {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {{x_A}{x_B} - 1} \right)}^2}}}} \right] = 20\,\,\,(*)\)

Đặt \({x_A}{x_B} = a\)

Phương trình (*) tương đương

\(\begin{array}{l}\left( {4 - 4a} \right)\left( {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right) = 20 \Leftrightarrow 4\left( {1 - a} \right) + \dfrac{{16}}{{1 - a}} = 20\\ \Leftrightarrow 4{\left( {1 - a} \right)^2} - 20\left( {1 - a} \right) + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - a = 4\\1 - a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 3\\a = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(a = - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2\\{x_A}{x_B} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow {x_A},\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 2X - 3 = 0\)

Suy ra \(\left( {{x_A},\,{x_B}} \right) = \left( {3; - 1} \right) \Rightarrow {x_A} - {x_B} = 4\), hoặc \(\left( {{x_A},\,{x_B}} \right) = \left( { - 1;3} \right) \Rightarrow {x_A} - {x_B} = - 4\).

TH2: \(a = 0 \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2\\{x_A}{x_B} = 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_A},\,{x_B}\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 2X = 0\)

Suy ra \(\left( {{x_A},\,{x_B}} \right) = \left( {0;2} \right) \Rightarrow {x_A} - {x_B} = - 2 < 0\), hoặc \(\left( {{x_A},\,{x_B}} \right) = \left( {2;0} \right) \Rightarrow {x_A} - {x_B} = 2\).

Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.