Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}}

Câu hỏi số 291536:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là một điểm trên \(\left( C \right)\) sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Tổng \({x_M} + {y_M}\) bằng

A. \(2\sqrt 2 - 1\).

B. 1.

C. \(2 - \sqrt 2 \).

D. \(2 - 2\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:291536

Phương pháp giải

+) Tính khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ.

+) Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\)

\(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {y_M} = \dfrac{{{x_M} + 1}}{{{x_M} - 1}} \Rightarrow M\left( {{x_M};\dfrac{{{x_M} + 1}}{{{x_M} - 1}}} \right)\)

Đặt: \(d\left( M \right) = d\left( {M;Ox} \right) + d\left( {M;Oy} \right) = \left| {{x_M}} \right| + \left| {\dfrac{{{x_M} + 1}}{{{x_M} - 1}}} \right|\)

Nhận xét: Với \(M\left( {0;1} \right)\) thì ta có: \(d\left( M \right) = 1\). Do đó, để tìm GTNN của \(d\left( M \right)\) ta chỉ cần xét khi \(\left| x \right| \le 1\,\,\, \Rightarrow \, - 1 \le x \le 1\)

* Nếu \(0 \le x < 1\) thì \(d\left( M \right) = g\left( x \right) = x - \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 1 + \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right)\,\,\, \Rightarrow g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right)\) do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right)} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = 1\)

* Nếu \( - 1 \le x \le 0\) thì \(d\left( M \right) = g\left( x \right) = - x - \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = - 1 + \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\,\, \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \notin \left[ { - 1;0} \right]\\x = 1 - \sqrt 2 \in \left[ { - 1;0} \right]\end{array} \right.\)

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 1,\,g\left( { - 1} \right) = 1,\,g\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2\)

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right)} g\left( x \right) = g\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2\)

Do đó, \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) thỏa mãn đề bài là: \(M\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)\) suy ra: \({x_M} + {y_M} = 2 - 2\sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.