Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và biết diện tích xung quanh gấp đôi diện tích

Câu hỏi số 292448:

Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và biết diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích của khối chóp.

A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

B. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

D. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:292448

Phương pháp giải

+) Gọi b là độ dài cạnh bên, sử dụng giả thiết diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy biểu diễn b theo a.

+) Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

+) \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(b\) là độ dài cạnh bên, I là trung điểm của BC\( \Rightarrow SI \bot BC\)

Tam giác \(SIB\) vuông tại I \( \Rightarrow SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \)

\( \Rightarrow {S_{SBC}} = \dfrac{1}{2}.SI.BC = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} .a \Rightarrow {S_{xq}} = 4.{S_{SBC}} = 2a\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \)

Diện tích đáy: \({S_{ABCD}} = {a^2}\)

Theo đề bài, ta có: \(2a\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = 2{a^2} \Leftrightarrow \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = a \Leftrightarrow {b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{5}{4}{a^2} \Leftrightarrow b = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}a\)

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow OB = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Tam giác SOB vuông tại O \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {\dfrac{5}{4}{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

Thể tích của khối chóp : \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a.{a^2} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.