Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 2x + 1\,\,\left( C \right)\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\)

Câu hỏi số 292447:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 2x + 1\,\,\left( C \right)\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có hai tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng \(d:\,\,y = x\). Gọi h là khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó. Tính h.

A. \(h = \sqrt 2 \).

B. \(h = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(h = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\).

D. \(h = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:292447

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Giải chi tiết

\(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 2x + 1\,\, \Rightarrow y' = {x^2} - 4x + 2\)

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:\,\,y = x\) có hệ số góc \(k = - 1\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm \( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 2 = - 1 \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 3\end{array} \right.\)

+) \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = \dfrac{4}{3}\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = - 1.\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}\,\, \Leftrightarrow y = - x + \dfrac{7}{3}\,\,\left( {{d_1}} \right)\)

+) \({x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = - 2\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = - 1.\left( {x - 3} \right) + \left( { - 2} \right)\,\, \Leftrightarrow y = - x + 1\,\,\left( {{d_2}} \right)\)

Ta có: \({d_1}//{d_2},\,A\left( {1;0} \right) \in {d_2}\,\, \Rightarrow d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = d\left( {A;{d_1}} \right) = \dfrac{{\left| { - 1 - 0 + \dfrac{7}{3}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow h = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.