Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \({x^2} + 4x + 4\sqrt {21 - {x^2} -

Câu hỏi số 297952:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình: \({x^2} + 4x + 4\sqrt {21 - {x^2} - 4x} + 2m - 1 = 0\) có bốn nghiệm thực phân biệt.

A. \(m \in \left( { - 1;\left. { 2} \right]} \right.\)

B. \(m \in \left( { - 1;\left. { - 10} \right]} \right.\)

C. \(m \in \left( { - 11;\left. { - 10} \right]} \right.\)

D. \(m \in \left( { - 12;\left. { - 10} \right]} \right.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297952

Phương pháp giải

Đặt \(\sqrt {21 - {x^2} - 4x} = t\,\;\left( {t \ge 0} \right)\). Tìm điều kiện của t, lập bảng biến thiên, biện luận nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: \(21 - {x^2} - 4x \ge 0 \Leftrightarrow - 7 \le x \le 3.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{x^2} + 4x + 4\sqrt {21 - {x^2} - 4x} + 2m - 1 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow 21 - {x^2} - 4x - 4\sqrt {21 - {x^2} - 4x} = 2m + 20.\end{array}\)

Ta có \(21 - {x^2} - 4x = - {x^2} - 4x - 4 + 25 = - {\left( {x + 2} \right)^2} + 25 \le 25\;\forall x \in \left[ { - 7;\;3} \right].\)

\( \Rightarrow 0 \le \sqrt {21 - {x^2} - 4x} \le \sqrt {25} = 5.\)

Đặt \(\sqrt {21 - {x^2} - 4x} = t\, \Rightarrow t \in \left[ {0;5} \right]\)

Khi đó phương trình (1) trở thành: \({t^2} - 4t = 2m + 20\) (2)

Khi đó số nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^2} - 4t\) và đường thẳng \(y = 2m + 20.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t\) trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\) , ta có bảng biến thiên:

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \(x \in \left[ { - 7;\;3} \right] \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \(t \in \left[ {0;5} \right].\)

\( \Leftrightarrow - 4 < 2m + 20 \le 0 \Leftrightarrow - 12 < m \le - 10\)

Vậy với \(m \in \left( { - 12;\left. { - 10} \right]} \right.\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.