Tính tổng \(C_{2000}^0 + 2C_{2000}^1 + 3C_{2000}^2 + ... + 2001C_{2000}^{2000}\)?

Câu hỏi số 297982:

Vận dụng

A. \({1000.2^{2000}}\)

B. \({2001.2^{2000}}\)

C. \({2000.2^{2000}}\)

D. \({1001.2^{2000}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297982

Phương pháp giải

Xét tổng \({\left( {1 + x} \right)^{2000}}\) với \(x = 1\) (1).

Xét \(\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^{2000}}} \right]'\) với \(x = 1\) (2).

Cộng theo vế (1) và (2) suy ra tổng S.

Giải chi tiết

Ta có :

\(\begin{array}{l}S = C_{2000}^0 + 2C_{2000}^1 + .... + 2001C_{2000}^{2000}\\S = \left( {C_{2000}^0 + C_{2000}^1 + .... + C_{2000}^{2000}} \right) + \left( {C_{2000}^1 + 2C_{2000}^2 + .... + 2000C_{2000}^{2000}} \right)\end{array}\)

Xét tổng \({\left( {1 + x} \right)^{2000}} = C_{2000}^0 + C_{2000}^1x + C_{2000}^2{x^2} + .... + C_{2000}^{2000}{x^{2000}}\)

Với \(x = 1\) ta có \({2^{2000}} = {\left( {1 + x} \right)^{2000}} = C_{2000}^0 + C_{2000}^1 + C_{2000}^2 + ... + C_{2000}^{2000}\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^{2000}}} \right]' = \left( {C_{2000}^0 + C_{2000}^1x + C_{2000}^2{x^2} + .... + C_{2000}^{2000}{x^{2000}}} \right)'\\ \Rightarrow 2000{\left( {1 + x} \right)^{1999}} = C_{2000}^1 + 2C_{2000}^2x + .... + 2000C_{2000}^{2000}{x^{1999}}\end{array}\)

Với \(x = 1 \Rightarrow {2000.2^{1999}} = C_{2000}^1 + 2C_{2000}^2 + 3C_{2000}^3 + .... + 2000C_{2000}^{2000}\)

\( \Rightarrow S = {2^{2000}} + {2000.2^{1999}} = {2^{1999}}\left( {2 + 2000} \right) = {2^{1999}}.2002 = {2^{2000}}.1001\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.