Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 2\). Gọi M, m lần lượt là

Câu hỏi số 297996:

Vận dụng

Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 2\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy\). Giá trị của \(M + m\) bằng:

A. \( - 4\)

B. \( - \dfrac{1}{2}\)

C. \( - 6\)

D. \(1 - 4\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:297996

Phương pháp giải

+) Đặt \(t = x + y\), sử dụng BĐT \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) tìm khoảng giá trị của t, sau đó đưa biểu thức P về dạng \(y = f\left( t \right)\).

+) Sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.

Giải chi tiết

\(P = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {2 - xy} \right) - 3xy\)

Đặt \(t = x + y \Rightarrow {t^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy = 2 + 2xy \Leftrightarrow xy = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}\).

Vì \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {t^2} \ge 2\left( {{t^2} - 2} \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 2\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = 2t\left( {2 - \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) - 3\dfrac{{{t^2} - 2}}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\\P = 4t - 4{t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 3\\P = - {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 6t + 3 = f\left( t \right)\,\,\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 6t + 3\) trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) ta có \(f'\left( t \right) = - 3{t^2} - 3t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left[ { - 2;2} \right]\\t = - 2 \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{{13}}{2} = \max P;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = - 7 = \min P \Rightarrow M + m = \dfrac{{13}}{2} - 7 = - \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.