1) Tính tất cả cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: \({x^{2019}} = {y^{2019}} - {y^{1346}} - {y^{673}} +

Câu hỏi số 298257:

Vận dụng

1) Tính tất cả cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: \({x^{2019}} = {y^{2019}} - {y^{1346}} - {y^{673}} + 2.\)

2) Cho n là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên k ta đặt: \({S_k} = {1^k} + {2^k} + .... + {n^k}\). Chứng minh rằng \({S_{2019}} \vdots {S_1}\).

A. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( { - 1;\,1} \right)\)

B. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {1;\,1} \right)\)

C. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {1;\,2} \right)\)

D. \(\left( {x;\,y} \right) = \left( {2;\,2} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298257

Phương pháp giải

1) Ta cần nhận xét tinh ý: 2019 = 673. 3, 1469= 673. 2, từ đó rút gọn lại bằng cách đặt ẩn phụ.

2) Sử dụng khai triển Newton và phương pháp gọi ước chung lớn nhất của n và \(\frac{{n + 1}}{2}\) là d.

Giải chi tiết

1) Tính tất cả cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: \({x^{2019}} = {y^{2019}} - {y^{1346}} - {y^{673}} + 2.\)

Đặt: \({x^{673}} = a;\;\;{y^{673}} = b\;\;\left( {a,\;b \in Z} \right)\)

Phương trình đã cho trở thành: \({a^3} = {b^3} - {b^2} - b + 2\;\;\;\left( * \right)\)

\( \Rightarrow {a^3} = {b^3} - 3{b^2} + 3b - 1 + 2{b^2} - 4b + 3 = {\left( {b - 1} \right)^3} + \left( {2{b^2} - 4b + 3} \right) > {\left( {b - 1} \right)^3}\;\;\left( 1 \right)\)

Lại có: \({a^3} = {b^3} + 6{b^2} + 12b + 8 - 7{b^2} - 13b - 6 = {\left( {b + 2} \right)^3} - \left( {7{b^2} + 13b - 6} \right) < {\left( {b + 2} \right)^3}\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \({\left( {b - 1} \right)^3} < {a^3} < {\left( {b + 2} \right)^3} \Rightarrow b - 1 < a < b + 2\)

Vì \(a,\;b \in Z \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = b + 1\end{array} \right..\)

+) Với \(a = b\) ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow {b^3} = {b^3} - {b^2} - b + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^2} + b - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right)\left( {b + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 1\\a = b = - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^{673}} = {y^{673}} = 1\\{x^{673}} = {y^{673}} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = y = \sqrt[{673}]{{ - 2}}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(a = b + 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {b + 1} \right)^3} = {b^3} - {b^2} - b + 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {b^3} + 3{b^2} + 3b + 1 = {b^3} - {b^2} - b + 2\\ \Leftrightarrow 4{b^2} + 4b - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\\b = \frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1;\;1} \right).\)

2) Cho n là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên k ta đặt: \({S_k} = {1^k} + {2^k} + .... + {n^k}\). Chứng minh rằng \({S_{2019}} \vdots {S_1}\).

Ta có ngay: \({S_1} = 1 + 2 + ....... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Ta sẽ chứng minh \({S_{2019}}\) chia hết cho n và \(\frac{{n + 1}}{2}\).

Giả sử n lẻ thì \(\frac{{n + 1}}{2}\) nguyên. Sử dụng khai triển Newton ta có:

\({a^{2k + 1}} + {b^{2k + 1}} = (a + b)({a^{2k}} - {a^{2k - 1}}.b + ..... + {b^{2k}}) \vdots \left( {a + b} \right)\)

Do vậy :

\(\begin{array}{l}2\left( {{1^{2019}} + {2^{2019}} + ... + {n^{2019}}} \right) = \left( {{1^{2019}} + {n^{2019}}} \right) + \left( {{2^{2019}} + {{\left( {n - 1} \right)}^{2019}}} \right) + ... + \left( {{n^{2019}} + {1^{2019}}} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\\2\left( {{1^{2019}} + {2^{2019}} + ... + {n^{2019}}} \right) = \left( {{1^{2019}} + {{(n - 1)}^{2019}}} \right) + \left( {{2^{2019}} + {{\left( {n - 2} \right)}^{2019}}} \right) + ... + \left( {{{(n - 1)}^{2019}} + {1^{2019}}} \right) + 2.{n^{2019}} \vdots n\end{array}\)

Do\(\left( {n;\;n + 1} \right) = 1\) nên : \(2\left( {{1^{2019}} + {2^{2019}} + ... + {n^{2019}}} \right)\) chia hết cho \(n\left( {n + 1} \right).\)

Do vậy: \({S_{2019}} \vdots {S_1}\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link