Cho các số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 299066:

Vận dụng cao

Cho các số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: \(M = \sqrt 3 xy + {y^2}\).

A. \({M_{\max }} = \frac{3}{2}\,;\,\,\,\,{M_{\min }} = \frac{{ - 1}}{2}\)

B. \({M_{\max }} = \frac{5}{2}\,;\,\,\,\,{M_{\min }} = \frac{1}{2}\)

C. \({M_{\max }} = \frac{1}{2}\,;\,\,\,\,{M_{\min }} = \frac{{ - 1}}{2}\)

D. \({M_{\max }} = 2\,;\,\,\,\,{M_{\min }} = \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:299066

Phương pháp giải

Chứng minh với mọi a, b ta có \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\) từ đó áp dụng để tìm giá trị lớn nhất của M

Giải chi tiết

Cho các số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: \(M = \sqrt 3 xy + {y^2}\).

Với mọi a, b ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\;\;\left( * \right)\)

Áp dụng (*) ta có:

\(M = \sqrt 3 xy + {y^2} = \left( {\sqrt 3 x} \right)y + {y^2} \le \frac{{{{\left( {\sqrt 3 x} \right)}^2} + {y^2}}}{2} + {y^2} = \frac{{3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{2} = \frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x = y\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt 3 x\\3{x^2} + {x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \sqrt 3 x\\{x^2} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\y = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \({M_{\max }} = \frac{3}{2}\) khi \(x = \frac{1}{2};y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1}}{2};y = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)

+) Xét \(2M + 1 = 2\left( {\sqrt 3 xy + {y^2}} \right) + 1 = 2\sqrt 3 xy + 2{y^2} + {x^2} + {y^2}\)

\( = {x^2} + 2x.\sqrt 3 y + 3{y^2} = {\left( {x + \sqrt 3 y} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y.

\( \Rightarrow M \ge \frac{{ - 1}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt 3 y = 0\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 3 y\\{\left( { - \sqrt 3 y} \right)^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 3 y\\{y^2} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\y = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \({M_{\min }} = \frac{{ - 1}}{2}\) khi \(x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2};y = \frac{1}{2}\) hoặc \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{2};y = \frac{{ - 1}}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link