Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}3{y^2} + 1 + 2y\left( {x + 1} \right) = 4y\sqrt {{x^2} + 2y +

Câu hỏi số 299330:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}3{y^2} + 1 + 2y\left( {x + 1} \right) = 4y\sqrt {{x^2} + 2y + 1} \\y\left( {y - x} \right) = 3 - 3y\end{array} \right.\)

A. \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( {\frac{{415}}{{51}};\frac{{17}}{3}} \right)\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;-1} \right),\left( {\frac{{415}}{{51}};\frac{{17}}{3}} \right)\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( {\frac{{-415}}{{51}};\frac{{17}}{3}} \right)\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left( {-1;1} \right),\left( {\frac{{-415}}{{51}};\frac{{17}}{3}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:299330

Phương pháp giải

+) Biến đổi phương trình 1 thành dạng \({a^2} = {b^2}.\)

+) Giải 2 trường hợp \(a = \pm b\)

Giải chi tiết

Điều kiện:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 2y + 1 \ge 0.\\\left\{ \begin{array}{l}
3{y^2} + 1 + 2y\left( {x + 1} \right) = 4y\sqrt {{x^2} + 2y + 1} \,\,\,\left( 1 \right)\\y\left( {y - x} \right) = 3 - 3y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình (2) tương đương với \({y^2} - xy = 3 - 3y \Leftrightarrow xy = {y^2} + 3y - 3\)

Phương trình (1) tương đương:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,4{y^2} - {y^2} + 1 + 2xy + 2y = 4y\sqrt {{x^2} + 2y + 1} \\\Leftrightarrow 4{y^2} - 4y\sqrt {{x^2} + 2y + 1} + {x^2} + 2y + 1 = {x^2} - 2xy + {y^2}\\\Leftrightarrow {\left( {2y - \sqrt {{x^2} + 2y + 1} } \right)^2} = {\left( {x - y} \right)^2}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y - \sqrt {{x^2} + 2y + 1} = x - y\\2y - \sqrt {{x^2} + 2y + 1} = - x + y\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2y + 1} = 3y - x\\\sqrt {{x^2} + 2y + 1} = x + y\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(\sqrt {{x^2} + 2y + 1} = 3y - x\). Bình phương hai vế phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3y \ge x\\{x^2} + 2y + 1 = 9{y^2} - 6xy + {x^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3y \ge x\\6xy = 9{y^2} - 2y - 1\\xy = {y^2} + 3y - 3
\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3y \ge x\\xy = {y^2} + 3y - 3\\3{y^2} - 20y + 17 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3y \ge x\\xy = {y^2} + 3y - 3\\\left[ \begin{array}{l}
y = 1\\y = \frac{{17}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{415}}{{51}};y = \frac{{17}}{3}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \(\sqrt {{x^2} + 2y + 1} = x + y\). Bình phương hai vế phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\
{x^2} + 2y + 1 = {x^2} + 2xy + {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\
2xy = - {y^2} + 2y + 1\\xy = {y^2} + 3y - 3\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\xy = {y^2} + 3y - 3\\
- 3{y^2} - 4y + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\xy = {y^2} + 3y - 3\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - \frac{7}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;\,\,y = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{41}}{{21}};\,\,y = \frac{{ - 7}}{3}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( {\frac{{415}}{{51}};\frac{{17}}{3}} \right)\).

Vậy đáp án đúng là A

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link