Cho khai triển \({\left( {1 - 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\) biết \(S = \left|

Câu hỏi số 301123:

Vận dụng cao

Cho khai triển \({\left( {1 - 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\) biết \(S = \left| {{a_1}} \right| + 2\left| {{a_2}} \right| + ... + n\left| {{a_n}} \right| = 34992\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {a_0} + 3{a_1} + 9{a_2} + ... + {3^n}{a_n}\)

A. \( - 78125\).

B. \(9765625\).

C. \( - 1953125\).

D. \(390625\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:301123

Phương pháp giải

+) Sử dụng khai triển \({\left( {1 - 2x} \right)^n}\) tìm \({a_k}\) là hệ số của \({x_k}\).

+) Thay vào giả thiết biểu thức S tìm n.

+) Thay n và \({a_k}\) vào biểu thức tính P.

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {1 - 2x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 2} \right)}^k}{x^k}} \)

\( \Rightarrow {a_k} = C_n^k.{\left( { - 2} \right)^k} \Rightarrow \left| {{a_k}} \right| = C_n^k{.2^k}\,\,\forall k = \overline {0;n} \).

Khi đó ta có:

\(S = \left| {{a_1}} \right| + 2\left| {{a_2}} \right| + ... + n\left| {{a_n}} \right| = C_n^1{.2^1} + 2.C_n^2{.2^2} + .... + n.C_n^n{.2^n}\)

Xét khai triển

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i.{x^i}} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\\ \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + 2C_n^2x + ... + nC_n^n{x^{n - 1}}\end{array}\)

Thay \(x = 2\) ta có \(n{.3^{n - 1}} = C_n^1 + 2C_n^2.2 + ... + nC_n^n{.2^{n - 1}} \Rightarrow 2.n{.3^{n - 1}} = 2C_n^1 + 2C_n^2{.2^2} + ... + nC_n^n{.2^n}\)

\( \Rightarrow S = 2n{.3^{n - 1}} = 34992 \Leftrightarrow n{.3^{n - 1}} = 17496 \Leftrightarrow n = 8\).

Thay \(n = 8\) vào P ta có

\(\begin{array}{l}P = {a_0} + 3{a_1} + 9{a_2} + ... + {3^8}{a_8}\\P = C_8^0 + 3.C_8^1.{\left( { - 2} \right)^1} + {3^2}.C_8^2.{\left( { - 2} \right)^2} + ... + {3^8}.C_8^8.{\left( { - 2} \right)^8}\\P = C_8^0 - C_8^1{.6^1} + C_8^2{.6^2} - .... + C_8^8{.6^8}\\P = {\left( {1 - 6} \right)^8} = {5^8} = 390625\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.