Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(1\), điểm \(M\) là trung điểm \(CD\). Cho hình vuông \(ABCD\) (tất
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(1\), điểm \(M\) là trung điểm \(CD\). Cho hình vuông \(ABCD\) (tất cả các điểm trong của nó) quay quanh trục là đường thẳng \(AM\) ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Sử dụng công thức tính thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\) trong đó r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón.
+) +) Sử dụng công thức tính thể tích khối nón cụt \(V = \dfrac{1}{3}\pi \left( {r_1^2 + r_2^2 + {r_1}{r_2}} \right)h\) trong đó \({r_1},\,\,{r_2}\), h lần lượt là bán kính 2 đáy và chiều cao của khối nón.
Khi quay hình vuông ABCD quanh AM ta được :
+) 1 khối nón đỉnh A, đường cao AN, bán kính đáy NB \(\left( {{V_1}} \right)\).
+) 1 khối nón cụt tâm N, P \(\left( {{V_2}} \right)\) - 1 khối nón đỉnh M, đường cao MP, bán kính đáy PC \(\left( {{V_3}} \right)\).
Ta có: \(\Delta ABN \sim \Delta MAD\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{DM}} = \dfrac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AN = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.1}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).
\( \Rightarrow BN = \sqrt {A{B^2} - A{N^2}} = \sqrt {1 - \dfrac{1}{5}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}.\dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{4\sqrt 5 \pi }}{{75}}\)
Ta có \(\Delta MPC \sim \Delta ANB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{PC}}{{NB}} = \dfrac{{MC}}{{AB}} = \dfrac{{MP}}{{AN}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PC = \dfrac{1}{2}NB = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\MP = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow NP = MN + MP = AM - AN + MP = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{3}\pi \left( {P{C^2} + B{N^2} + PC.BN} \right).NP = \dfrac{\pi }{3}\left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{14\sqrt 5 }}{{75}}\pi \).
\({V_3} = \dfrac{1}{3}\pi MP.P{C^2} = \dfrac{\pi }{3}.\dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}.{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \dfrac{{\sqrt 5 \pi }}{{150}}\).
Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình vuông ABCD quanh cạnh AM là
\(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \dfrac{{4\sqrt 5 \pi }}{{75}} + \dfrac{{14\sqrt 5 }}{{75}}\pi - \dfrac{{\sqrt 5 \pi }}{{150}} = \dfrac{{7\sqrt 5 }}{{30}}\pi \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
