Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f''\left(

Câu hỏi số 302447:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = {x^3} - 2x\;\;\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 2.\) Tính giá trị của \(T = {f^2}\left( 2 \right).\)

A. \(\dfrac{{268}}{{15}}\)

B. \(\dfrac{{160}}{{15}}\)

C. \(\dfrac{{268}}{{30}}\)

D. \(\dfrac{4}{{15}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302447

Phương pháp giải

+) Dựa vào phương trình đã cho của bài toán ta có thể thấy: \(VT = \left[ {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right]'.\)

+) Lấy nguyên hàm hai vế và dựa vào giả thiết bài toán để làm tiếp.

Giải chi tiết

Ta có: \(VT = \left[ {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right).f''\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right]' = {x^3} - 2x\;\;\;\left( * \right)\)

Nguyên hàm hai vế của \(\left( * \right)\) ta được: \(f'\left( x \right).f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + C.\;\;\left( 1 \right)\)

Lại có: \(f'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2.2 = 4.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4\\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = \int {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4} \right)} } dx \Leftrightarrow \int {f\left( x \right)df\left( x \right) = \dfrac{{{x^5}}}{{20}} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 4x + A} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \dfrac{{{x^5}}}{{20}} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 4x + A \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = \dfrac{{{x^5}}}{{10}} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 2A.\end{array}\)

Có \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow 4 = 2A \Leftrightarrow A = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = \dfrac{{{x^5}}}{{10}} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 4\\ \Rightarrow {f^2}\left( 2 \right) = \dfrac{{{2^5}}}{{10}} - \dfrac{{{{2.2}^3}}}{3} + 8.2 + 4 = \dfrac{{268}}{{15}}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.