Một hộp giấy dạng hình lăng trụ đứng tam giác đựng 6 quả bóng bàn như nhau có bán kính là

Câu hỏi số 302651:

Vận dụng cao

Một hộp giấy dạng hình lăng trụ đứng tam giác đựng 6 quả bóng bàn như nhau có bán kính là 2cm. Các quả bóng trong hộp được xếp thành hai lớp, chúng tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với các mặt của hộp giấy. Tính diện tích bìa giấy để làm chiếc hộp (nếp gấp không đáng kể).

A. \(144 + 128\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).

B. \(128 + 144\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).

C. \(140 + 128\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).

D. \(128 + 140\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302651

Phương pháp giải

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ: \({S_{xq}} = {C_{day}}.h\)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}}\)

Giải chi tiết

Nhận xét: Chiếc hộp giấy là hình lăng trụ tam giác đều có chiều cao \(h = 4r = 8\left( {cm} \right)\)

Xét mặt cắt đi qua tâm của 3 quả bóng ở lớp bên trên, cắt khối hộp là tam giác đều MNP, cắt 3 khối cầu là 3 hình tròn bán kính 2cm.

Giả sử cạnh của tam giác MNP đều bằng a \(\left( {cm} \right)\). Khi đó, \(MN = a,\,\,MH = \dfrac{a}{2};\,NH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác vuông MNH có tâm đường tròn nội tiếp là I, bán kính đường tròn nội tiếp \(r = 2cm\)

Diện tích tam giác MNH: \({S_{MNH}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNP}} = pr \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{1}{2}\left( {a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right).2\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{\left( {3 + \sqrt 3 } \right)a}}{2}\)

\( \Leftrightarrow a = 4\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\,\,\left( {cm} \right)\) \( \Rightarrow {S_{MNP}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{16{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right) = 16\sqrt 3 + 24\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Chu vi tam giác MNP: \({C_{MNP}} = 3a = 3.4\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 12\sqrt 3 + 12\,\left( {cm} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: \({S_{xq}} = {C_{MNP}}.h = \left( {12\sqrt 3 + 12} \right).8 = 96\sqrt 3 + 96\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích của bìa là: \(\left( {16\sqrt 3 + 24} \right).2 + 96\sqrt 3 + 96\, = 128\sqrt 3 + 144\left( {c{m^2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.