Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 1\). Với giá trị nào của tham số

Câu hỏi số 302684:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 1\). Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác đều.

A. \(m = 0\).

B. \(m = \sqrt[3]{3}\).

C. \(m = - 1\).

D. \(m = 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302684

Phương pháp giải

Xác định tọa độ ba điểm cực trị, từ đó tìm m để tam giác lập từ 3 điểm cực trị là tam giác đều.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = {x^4} - 2\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right){x^2} - m + 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)x;\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì \(\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > 1\).

Khi đó, tọa độ ba điểm cực trị là:

\(A\left( {0;1 - m} \right),\,B\left( { - \sqrt {\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)} ; - \sqrt[3]{9}{m^2} + \left( {2\sqrt[3]{9} - 1} \right)m + 1 - \sqrt[3]{9}} \right),C\left( {\sqrt {\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)} ; - \sqrt[3]{9}{m^2} + \left( {2\sqrt[3]{9} - 1} \right)m + 1 - \sqrt[3]{9}} \right)\)

Dễ dàng thấy rằng tam giác ABC cân tại A, để tam giác ABC đều thì \(AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right) + {\left( { - \sqrt[3]{9}{m^2} + 2\sqrt[3]{9}m - \sqrt[3]{9}} \right)^2} = 4\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{81}}{\left( {m - 1} \right)^4} = 3\sqrt[3]{3}\left( {m - 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^4} = \left( {m - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^3} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy m = 2.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.