Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) đến \(\Delta \) bằng?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}},\left( {ad - bc,c \ne 0} \right)\)có TCĐ: \(x = - \dfrac{d}{c}\), TCN: \(y = \dfrac{a}{c}\)và có tâm đối xứng là\(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có TCĐ \(x = - 1\), TCN: \(y = 1\) và có tâm đối xứng là \(I\left( { - 1;1} \right)\).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là tiếp điểm;
A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến \(\Delta \) với TCĐ, TCN;
J, r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác IAB.
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \): \(y = y'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 1}}\)
Cho \(x = - 1 \Rightarrow y = \dfrac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( { - 1 - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 1}} = \dfrac{{{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}} \Rightarrow A\left( { - 1;\dfrac{{{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}}} \right) \Rightarrow IA = \left| {\dfrac{6}{{{x_0} + 1}}} \right|\)
Cho \(y = 1 \Rightarrow 1 = \dfrac{3}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow x = 2{x_0} + 1 \Rightarrow B\left( {2{x_0} + 1;1} \right) \Rightarrow IB = 2\left| {{x_0} + 1} \right|\)
\( \Rightarrow IA.IB = 12,\,\,\forall {x_0} \ne - 1\)
\({S_{IAB}} = \dfrac{1}{2}IA.IB = \dfrac{1}{2}\left( {IA + IB + AB} \right).r\)
\( \Rightarrow r = \dfrac{{IA.IB}}{{IA + IB + AB}} = \dfrac{{IA.IB}}{{IA + IB + \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} }}\)
\( = \dfrac{{12}}{{IA + IB + \sqrt {{{\left( {IA + IB} \right)}^2} - 24} }}\)
Ta có: \(IA + IB \ge 2\sqrt {IA.IB} = 4\sqrt 3 \), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(IA = IB\)
Đặt \(IA + IB = t,\,\,t \ge 4\sqrt 3 \), ta có:
\(f\left( t \right) = t + \sqrt {{t^2} - 24} \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} - 24} }} > 0,\,\,\forall t > 4\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {4\sqrt 3 ; + \infty } \right)\)
Ta có: \(f\left( {4\sqrt 3 } \right) = 8\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow f\left( t \right) \ge 8\sqrt 3 ,\,\,\forall t \ge 4\sqrt 3 \Rightarrow \dfrac{{12}}{{f\left( t \right)}} \le \dfrac{{12}}{{8\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\forall t \ge 4\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow {r_{\max }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) khi và chỉ khi \(IA = IB = 2\sqrt 3 \) \( \Rightarrow \Delta IAB\) vuông cân tại I có \(d\left( {I;\Delta } \right) = IH = \dfrac{{IA}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 6 \)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
