Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng \(45^\circ \), M, N, P

Câu hỏi số 302692:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng \(45^\circ \), M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, AB, thể tích V của khối tứ diện DMNP là \(V = \dfrac{{{a^3}}}{6}\). Độ dài cạnh đáy là:

A. \(a\sqrt 3 \).

B. \(a\sqrt 2 \).

C. \(2a\)

D. \(3a\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302692

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Hình chóp S.ABCD đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\AB \bot \left( {SPO} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SP;OP}} \right) = \widehat {SPO} = 45^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta SOP\) vuông cân tại O

Gọi độ dài cạnh đáy là x \( \Rightarrow OP = \dfrac{x}{2} \Rightarrow SO = OP = \dfrac{x}{2}\)

Khi đó, \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{x}{2}.{x^2} = \dfrac{{{x^3}}}{6}\)

Ta có: \({S_{MNP}} = \dfrac{1}{4}{S_{SAB}}\) (do M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, AB) \( \Rightarrow {V_{D.MNP}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABD}}\)

Mà \({V_{S.ABD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow {V_{D.MNP}} = \dfrac{1}{8}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{8}.\dfrac{{{x^3}}}{6} = \dfrac{{{x^3}}}{{48}} \Rightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{48}} = \dfrac{{{a^3}}}{6} \Rightarrow x = 2a\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.