Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\).

Câu hỏi số 302691:

Vận dụng

Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\). Tồn tại dây cung \(AB\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho \(\Delta O'AB\) là tam giác đều và mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn \(\left( O \right)\) một góc \(60^\circ \). Khi đó, diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình trụ là:

A. \({S_{xq}} = \dfrac{{3\pi {R^2}\sqrt 7 }}{7}\).

B. \({S_{xq}} = \dfrac{{4\pi {R^2}}}{7}\).

C. \({S_{xq}} = \dfrac{{6\pi {R^2}\sqrt 7 }}{7}\).

D. \({S_{xq}} = \dfrac{{3\pi {R^2}}}{{\sqrt 7 }}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302691

Phương pháp giải

Diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi rl\).

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow OI \bot AB\)

Mà \(OO' \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {OO'I} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {O'AB} \right);\left( {O;R} \right)}} \right) = \widehat {O'I;OI} = \widehat {OIO'} = 60^\circ \)

Gọi độ dài đoạn \(OO' = x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O'A = \sqrt {OO{'^2} + O{A^2}} = \sqrt {{x^2} + {R^2}} \\OI = OO'.\cot 60^\circ = \dfrac{x}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)

Tam giác OBI vuông tại I \( \Rightarrow IB = \sqrt {O{B^2} - O{I^2}} = \sqrt {{R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \Rightarrow AB = 2\sqrt {{R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \)

Tam giác O’AB đều

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = O'A \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{3}} = \sqrt {{x^2} + {R^2}} \\ \Leftrightarrow 4{R^2} - \dfrac{{4{x^2}}}{3} = {x^2} + {R^2} \Leftrightarrow \dfrac{7}{3}{x^2} = 3{R^2} \Rightarrow x = \dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }}\end{array}\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .R.\dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{6\sqrt 7 \pi {R^2}}}{7}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.