Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\left( {5;\;5} \right),\) trực tâm \(H\left( { -

Câu hỏi số 303727:

Vận dụng

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\left( {5;\;5} \right),\) trực tâm \(H\left( { - 1;\;13} \right),\) đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 50.\) Biết tọa độ đỉnh \(C\) là \(C\left( {a;\;b} \right)\) với \(a < 0.\) Tổng \(a + b\) bằng:

A. 6

B. -6

C. -8

D. 8

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303727

Phương pháp giải

+) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+) Kẻ đường kính AA’, kẻ \(OI \bot BC\). Chứng minh \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OI} \), từ đó tìm tọa độ điểm I.

+) Viết phương trình đường thẳng BC đi qua I và vuông góc với OI.

+) \(C = BC \cap \left( O \right)\). Giải hệ phương trình bao gồm phương trình đường thẳng BC và đường tròn \(\left( O \right)\). Từ đó suy ra tọa độ điểm C và kết luận.

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;\;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 .\)

Kẻ đường kính AA’, ta có:

\(\widehat {ACA'} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AC \bot A'C\). Mà \(BH \bot AC\)\( \Rightarrow BH//A'C\).

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh dược \(CH//A'B\).

Do đó A’CHB là hình bình hành.

Kẻ \(OI \bot BC \Rightarrow I\) là trung điểm của BC\( \Rightarrow I\) đồng thời là trung điểm của A’H.

Do đó OI là đường trung bình của tam giác A’AH \( \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}AH \Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OI} \).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6 = 2.{x_I}\\8 = 2{y_I}\end{array} \right. \Leftrightarrow I\left( { - 3;4} \right)\).

Đường thẳng BC đi qua I và nhận \(\overrightarrow {OI} = \left( { - 3;4} \right)\) là 1 VTPT nên có phương trình \( - 3\left( {x + 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow - 3x + 4y - 25 = 0\).

Ta có \(C = BC \cap \left( O \right)\), do đó tọa độ của điểm C là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 50\\ - 3x + 4y = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 50\\x = \dfrac{{4y - 25}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{4y - 25}}{3}} \right)^2} + {y^2} = 50\\x = \dfrac{{4y - 25}}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{y^2} - 200y + 625 + 9{y^2} = 450\\x = \dfrac{{4y - 25}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 7 \Rightarrow x = 1\\y = 1 \Rightarrow x = - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( {1;7} \right)\\C\left( { - 7;1} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = - 7;\,\,b = 1 \Rightarrow a + b = - 6\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.