Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm m

Câu hỏi số 305501:

Vận dụng cao

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm m để biểu thức \(P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(m = \dfrac{1}{2}\)

B. \(m = 1\)

C. \(m = 2\)

D. \(m = \dfrac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305501

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm.

+) Khi phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

+) Xét \(P - 1\) và đánh giá.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) ta có \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\) do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Giả sử phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2\)

Khi đó \(P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}} = \dfrac{{2m - 2 + 3}}{{{m^2} - 2m + 2 + 2\left( {m - 1 + 1} \right)}} = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}\)

Xét \(P - 1 = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} - 1 = \dfrac{{2m + 1 - {m^2} - 2}}{{{m^2} + 2}} = \dfrac{{ - {m^2} + 2m - 1}}{{{m^2} + 2}} = - \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \le 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow P \le 1\,\,\forall m \in \mathbb{R}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10