Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm m

Câu hỏi số 305501:

Vận dụng cao

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) (m là tham số). Tìm m để biểu thức \(P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(m = \dfrac{1}{2}\)

B. \(m = 1\)

C. \(m = 2\)

D. \(m = \dfrac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305501

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm.

+) Khi phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

+) Xét \(P - 1\) và đánh giá.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) ta có \(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\) do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Giả sử phương trình \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\). Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2\)

Khi đó \(P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}} = \dfrac{{2m - 2 + 3}}{{{m^2} - 2m + 2 + 2\left( {m - 1 + 1} \right)}} = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}\)

Xét \(P - 1 = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} - 1 = \dfrac{{2m + 1 - {m^2} - 2}}{{{m^2} + 2}} = \dfrac{{ - {m^2} + 2m - 1}}{{{m^2} + 2}} = - \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \le 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow P \le 1\,\,\forall m \in \mathbb{R}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.