Cho \(a,b,c,d\) là các số thực khác 0. Biết \(c\) và \(d\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} +

Câu hỏi số 305502:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c,d\) là các số thực khác 0. Biết \(c\) và \(d\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) với \(a,\,\,b\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + cx + d = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(S = a + b + c + d\).

A. \(S = - 2\)

\(S = 0\)

C. \(S = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)

D. \(S = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305502

Giải chi tiết

Vì \(c,\,\,d\) là 2 nghiệm của phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(c + d = - a\).

Vì \(a,\,\,b\) là 2 nghiệm của phương trình \({x^2} + cx + d = 0\) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(a + b = - c\).

\( \Rightarrow \) Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}c + d = - a\\a + b = - c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = - d\\a + c = - b\end{array} \right. \Leftrightarrow b = d\).

Do \(c\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) nên \({c^2} + ac + b = 0\) (1)

Do \(a\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + cx + d = 0\) nên \({a^2} + ca + d = 0\) (2)

Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được : \({c^2} - {a^2} + b - d = 0 \Leftrightarrow {c^2} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = c\\a = - c\end{array} \right.\)

TH1 : \(a = - c \Rightarrow c + d = - a = c \Leftrightarrow d = 0\) (loại)

TH2: \(a = c \Rightarrow c + d = - a = - c \Leftrightarrow 2c = - d = - b\)

Thay vào (1) ta có : \({c^2} + c = 2c \Leftrightarrow {c^2} - c = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\c = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Khi \(c = 1 \Rightarrow a = c = 1,\,\,b = d = - 2c = - 2 \Rightarrow S = a + b + c + d = 1 - 2 + 1 - 2 = - 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10